Linjer och plan

Låt ax+by + c=0 vara ekvationen för en linje i planet. Visa att vektorn n= (a,b) är vinkelrät mot linjen.

Mitt problem är att jag inte riktigt vet hur jag får ut riktningsvektorn för linjen när den är uttryckt på det sättet. I vanliga fall brukar en linjes ekvation vara (x,y,z) = ( x1, y1, z1) + t(a,b,c) där (a,b,c) är riktningsvektorn. Förstår inte riktigt hur en linjes ekvation kan skrivas ax + by + c = 0 utifrån den allmnäna formeln för linjens ekvation. Om jag har riktningsvektorn vet jag sedan hur jag gör, då ska skalärprodukten bli noll men förstår som sagt inte hur linjens ekvation är skriven och vad riktningsvektorn blir?

//Erika

Låt $(x_0, y_0)$ och $(x_1, y_1)$ ligga på linjen. Då vet du att

$ax_0 + by_0 + c = 0$

$ax_1 + by_1 + c = 0$

Subtrahera dessa två från varandra så får du

$(x_1 - x_0)a + b(y_1 - y_0) = 0$

Nu har du ju att $(x_1 - x_0, y_1 - y_0)$ är en vektor som går längs linjen, eftersom det blir vektorn som går från första punkten till den andra. Ekvationen här ovanför är skalärprodukten mellan (a, b) och den vektorn, vilket är noll. Alltså är (a, b) vinkelrät mot linjen.

Svara