Linjens och sfärens skärningspunkt
"I skärningen mellan sfären och linjen måste linjen uppfylla sfären ekvation..." (på raden under det fattar jag inte vad som får de att göra som de gör)
Jag vill bara matematiskt förstå varför man gör som de gör. Skulle någon kunna förklara?
(Bilden jag ritat är ritad så att linjen och sfären skär varandra men som vi ser i uppgiften gör de aldrig det och därför är ifrån varandra. Jag valde bara att rita skärningen mellan de för att skapa en större förståelse)
Är du med på att man skriver om linjen på parameterform, d v s man har inte tre oberoende värden på x, y och z, utan x-värdet, y-värdet och z-värdet för en punkt på linjen kan allihop bestämmas med ett enda värde på t?
Sedan sätter man in uttrycken för x, y och z i ekvationen för sfären, x2+y2+z2 = 4. Då får man först en krånglig andragradsekvation, som så småningom förenklas till t2-(8/35)t+4/21 = 0. Denna ekvation saknar reella lösningar, d v s det finns inte något (reellt) värde på t som gör att punkten ligger på sfären.
Om det hade funnits en skärningspunkt mellan linjen och sfären så skulle andragradsekvationen ha haft två lösningar, en för varje skärningspunkt (eller möjligen en dubbelrot om linjen bara nuddade vid sfären i en enda punkt).
Smaragdalena skrev:Är du med på att man skriver om linjen på parameterform, d v s man har inte tre oberoende värden på x, y och z, utan x-värdet, y-värdet och z-värdet för en punkt på linjen kan allihop bestämmas med ett enda värde på t?
Sedan sätter man in uttrycken för x, y och z i ekvationen för sfären, x2+y2+z2 = 4. Då får man först en krånglig andragradsekvation, som så småningom förenklas till t2-(8/35)t+4/21 = 0. Denna ekvation saknar reella lösningar, d v s det finns inte något (reellt) värde på t som gör att punkten ligger på sfären.
Så du säger att denna röda linje har en gemensam punkt som hittas av ett specifikt t då detta t:et hittas genom att ta fram parameterformen.
Men nu till det jag fastnar på: nu har jag fått fram ett t men väljer att bryta ut X,y,z (uttryckt i t) och stoppa in det i sfärens x,y,z. Så för att detta ska skära/gälla måste ekvationen som uppstår få en lösning som är reell?
Så som du har ritat din linje och din sfär så har andragradsekvationen två olika reella lösningar.
Det ser också ut som om din linje passerar genom sfärens mittpunkt. Om vi bestämmer oss för att sfären är en enhetssfär ser det ut om om din linje passerar genom punkterna (1, 1, 1) och (-1, -1, -1). Vilka är skärningspunkterna mellan linjen och sfären?
Jag försöker att rita på sfären för att se hur det ska se ut men kommer inte vidare. Vet liksom inte vad som krävs för att de ska skära varandra.
Ser du att din röda linje kommer in i sfären långt nere till vänster och går ut högt uppe till höger? Jag tycker också att det ser ut som om nederänden är närmare mig och övre änden pekar bortåt, men det r inte lätt att rita i 3D, inte att tolka det heller.
Jag började rita så här också. Antar att det var det här du menade?
Ja, nu har du markerat två skärningspunkter. Kan du räkna ut koordinaterna, om man antar att det är som jag skrev i inlägg #4?
