Linjens ekvation efter basbyte

Hej,

Jag har testat arbeta lite med basbyten och gjorde mig ett eget exempel för att helt enkelt se om jag har koll på området. Skulle vara tacksam ifall jag fick feedback / kontroll av min beräkning.

Uppgift: Ange linjens ekvation x₁+3x₂, som nu är angiven i standardbasen, i den nya basen som definieras enligt:

$\left\{\begin{array}{l}{f}_1=e_1+e_2\\ f_2=-e_1+e_2\end{array}\right.(*)$

Lösning: Vi vet alltså (*) gäller, vi kan ställa upp matrissambandet:

$\left[\begin{array}{c}{f}_1\\ f_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}_1\\ e_2\end{array}\right]$

Svar: Då gäller att basbytesmatrisen ges av transponatet av matrisen angiven ovan:

$X = \left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]X^{\text{'}}$

$\iff \left[\begin{array}{cc}1& 3\end{array}\right]X=\left[\begin{array}{cc}1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]X^{\text{'}}=\left[\begin{array}{cc}4& 2\end{array}\right]X^{\text{'}}$

Eftersom VL är ekvivalent med vår givna linje, så betyder det att den kan uttryckas, i vår nya bas, som följande:

Svar:  $4x_1+2x_2=0$

Tack.