Linjens ekv parameterform (Matematik/Universitet)

$x = . . . . y = t [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = t [\begin{matrix} . . . \\ . . . \end{matrix}] + [\begin{matrix} . . . \\ . . . \end{matrix}]$

För att fullständigt beskriva en linje behöver vi veta två saker

En referenspunkt på linjen (var är linjen?)
En riktning (åt vilket håll går linjen?)

Det finns flera olika sätt att beskriva en linje, men alla sätt måste innehålla ovanstående information. Man kan t.ex. säga att en linje går åt söder (åt vilket håll går linjen) och att den är går genom köksbordet (var är linjen, en referenspunkt). Vill man dessutom veta var på linjen man befinner sig måste man ange ett avstånd till referenspunkten, t.ex. 2 meter söder om köksbordet

På vektorform väljer man en referenspunkt på linjen $\mathbf{r_0}$ (var är linjen?) och en riktningsvektor $\mathbf{v}$ (åt vilket håll går linjen?). Alla punkter på linjen ges av

$\mathbf{r}=\mathbf{r_0}+t\mathbf{v}$

Där t är avståndet till referenspunkten (köksbordet). Notera en viktig sak: Du kan använda vilken punkt som helst på linjen som referenspunkt. Angivelsen 5 meter söder om diskmaskinen och angivelsen 2 meter norr köksbordet kan ange samma punkt om både köksbordet och diskbänken ligger på samma linje. Längden på riktningsvektorn är också valfri.

Ett annat sätt att ange en linje är parameterform. Då anger man varje koordinat för sig. Men det är fortfarande exakt samma informationsinnehåll, dvs var är linjen, referenspunkt? åt vilket håll går linjen?

Uppgift a)

Sedan gymnasiet vet vi att ekvationen $3x-2y+1=0$ beskriver en linje. Den första frågan vi ställer oss är

Åt vilket håll går linjen?

Ritar vi in linjen i ett koordinatsystem är det lätt att finna ett sätt att beräkna en riktningsvektor för linjen. Här är ett exempel på hur man kan göra:

Vi deriverar ekvationen och löser ut derivatan

$3-2y'=0\iff y'=\dfrac{3}{2}$

Det betyder att $\Delta y$ förhålla sig till $\Delta x$ som 3:2, dvs (2,3) är en riktningsvektor för linjen.

Var är linjen, referenspunkt?

Vi letar upp en punkt som uppfyller ekvationen. Vi får välja precis vilken punkt vi vill, bara den ligger på linjen. Genom att sätta in ett enkelt värde på x och se vad det ger för y får vi en punkt på linjen. Vi väljer x=1:

$3\cdot 1-2y+1=0 \iff y=2$

Så en punkt på linjen är $(1,2)$

Sätter vi ihop punkten och riktningsvektor på vektorform kan vi skriva

$\mathbf{r}=\mathbf{r_0}+t\mathbf{v}=(1,2)+t(2,3)$

På parameterform blir det

$x=1+2t$

$y=2+3t$

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ett alternativt och snabbare sätt att lösa uppgiften är att lösa ut x som en funktion av y direkt från ekvationen:

$3x-2y+1=0\Rightarrow x=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}y$

Nu kan vi välja y=t som parameter och vi får

$x=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}t$

$y=t$

Nu frågar vi oss, är det verkligen samma linje som vi fick från den lite krångligare lösningen ovan? Svaret är ja. Enda skillnaden är att vi nu använt punkten $(-\dfrac{1}{3},0)$ som referens samt att riktningsvektorn har en annan längd.

Mycket bra beskrivet, Guggle!

Guggle skrev:
För att fullständigt beskriva en linje behöver vi veta två saker
En referenspunkt på linjen (var är linjen?)
En riktning (åt vilket håll går linjen?)
Det finns flera olika sätt att beskriva en linje, men alla sätt måste innehålla ovanstående information. Man kan t.ex. säga att en linje går åt söder (åt vilket håll går linjen) och att den är går genom köksbordet (va är linjen, en referenspunkt). Vill man dessutom veta var på linjen man befinner sig måste man ange ett avstånd till referenspunkten, t.ex. 2 meter söder om köksbordet
På vektorform väljer man en referenspunkt på linjen $\mathbf{r_0}$ (var är linjen?) och en riktningsvektor $\mathbf{v}$ (åt vilket håll går linjen?). Alla punkter på linjen ges av
$\mathbf{r}=\mathbf{r_0}+t\mathbf{v}$
Där t är avståndet till referenspunkten (köksbordet). Notera en viktig sak: Du kan använda vilken punkt som helst på linjen som referenspunkt. Angivelsen 5 meter söder om diskmaskinen och angivelsen 2 meter norr köksbordet kan ange samma punkt om både köksbordet och diskbänken ligger på samma linje. Längden på riktningsvektorn är också valfri.
Ett annat sätt att ange en linje är parameterform. Då anger man varje koordinat för sig. Men det är fortfarande exakt samma informationsinnehåll, dvs var är linjen, referenspunkt? åt vilket håll går linjen?
Uppgift a)
Sedan gymnasiet vet vi att ekvationen $3x-2y+1=0$ beskriver en linje. Den första frågan vi ställer oss är
Åt vilket håll går linjen?
Ritar vi in linjen i ett koordinatsystem är det lätt att finna ett sätt att beräkna en riktningsvektor för linjen. Här är ett exempel på hur man kan göra:
Vi deriverar ekvationen och löser ut derivatan
$3-2y'=0\iff y'=\dfrac{3}{2}$
Det betyder att $\Delta y$ förhålla sig till $\Delta x$ som 3:2, dvs (2,3) är en riktningsvektor för linjen.
Var är linjen, referenspunkt?
Vi letar upp en punkt som uppfyller ekvationen. Vi får välja precis vilken punkt vi vill, bara den ligger på linjen. Genom att sätta in ett enkelt värde på x och se vad det ger för y får vi en punkt på linjen. Vi väljer x=1:
$3\cdot 1-2y+1=0 \iff y=2$
Så en punkt på linjen är $(1,2)$
Sätter vi ihop punkten och riktningsvektor på vektorform kan vi skriva
$\mathbf{r}=\mathbf{r_0}+t\mathbf{v}=(1,2)+t(2,3)$
På parameterform blir det
$x=1+2t$
$y=2+3t$

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ett alternativt och snabbare sätt att lösa uppgiften är att lösa ut x som en funktion av y direkt från ekvationen:
$3x-2y+1=0\Rightarrow x=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}y$
Nu kan vi välja y=t som parameter och vi får
$x=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}t$
$y=t$
Nu frågar vi oss, är det verkligen samma linje som vi fick från den lite krångligare lösningen ovan? Svaret är ja. Enda skillnaden är att vi nu använt punkten $(-\dfrac{1}{3},0)$ som referens samt att riktningsvektorn har en annan längd.

Som vanligt så förklarar du saker extremt bra!

Du borde verkligen skriva matteböcker, det skulle nog gå väldigt bra för dig.

Efter att du deriverar så får du reda på att lutningen är 3/2 alltså k värdet e 3/2 men fattar inte vad du menar med förhållandet? (2:3) eller något sånt? Va? Varför är kordinaten (2,3) deltax deltay Vad betyder det?

Vet att delta y betyder förändring i y-led och delta x betyder förändring i x led men jag menar liksom ”vad betyder allt som jag prickade ut kombinerat med varandra? Du förstår nog”

Bump

Man skulle lika gärna kunna välja x = t som parameter och skriva linjen som

$x=t$

$y=\frac{3}{2}t+\frac{1}{2}$ och då känner du igen räta linjens ekvation.

Hej, här kommer jag med mina videoklipp igen men man får aldrig nog av professor Leonard. Vet inte om videoklippet svarar på din fråga, men kolla gärna (du kanske finner något nyttigt).

https://m.youtube.com/watch?v=d4KADBFqpR0

Och denna:

https://m.youtube.com/watch?v=1H6HrfX_qCA

Lycka till! :)

Korra skrev:
Vet att delta y betyder förändring i y-led och delta x betyder förändring i x led men jag menar liksom ”vad betyder allt som jag prickade ut kombinerat med varandra? Du förstår nog”

Ja, du har rätt i att det är lutningen på linjen, dvs k-värdet.

$k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{3}{2}$

Detta är samma sak som att säga att förhållandet mellan en förflyttning i y-led och en förflyttning i x-led ska vara 3:2. Om vi flyttar oss tre enheter i y-led måste vi flytta oss två enheter i x-led. En vektor som gör exakt detta är vektorn $\mathbf{v_1}=(2,3)$ .

En annan vektor som flyttar oss i exakt samma riktning men dubbelt så långt är $\mathbf{v_2}=(4,6)$ .

Förhållandet mellan förflyttningen i x-led och förflyttningen i y-led är fortfarande 2:3 (eller 3:2 om du anger förflyttningen i y-led i förhållande till förflyttningen i x-led)

Guggle skrev:
Korra skrev:
Vet att delta y betyder förändring i y-led och delta x betyder förändring i x led men jag menar liksom ”vad betyder allt som jag prickade ut kombinerat med varandra? Du förstår nog”
Ja, du har rätt i att det är lutningen på linjen, dvs k-värdet.e
$k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{3}{2}$
Detta är samma sak som att säga att förhållandet mellan en förflyttning i y-led och en förflyttning i x-led ska vara 3:2. Om vi flyttar oss tre enheter i y-led måste vi flytta oss två enheter i x-led. En vektor som gör exakt detta är vektorn $\mathbf{v_1}=(2,3)$ .
En annan vektor som flyttar oss i exakt samma riktning men dubbelt så långt är $\mathbf{v_2}=(4,6)$ .
Förhållandet mellan förflyttningen i x-led och förflyttningen i y-led är fortfarande 2:3 (eller 3:2 om du anger förflyttningen i y-led i förhållande till förflyttningen i x-led)

Jahaa! Och då får vi vektorn som anger linjens riktning men jag blir fundersam. Linjen kan ju peka åt motsatt riktning som v också? så en vektor som är antiparallell till v funkar också alltså?

Det är jättelätt att förstå när du förklarar. Tack så jättemycket, det hjälper verkligen. Kursen känns mycket lättare nu.

Ms. Elle skrev:
Hej, här kommer jag med mina videoklipp igen men man får aldrig nog av professor Leonard. Vet inte om videoklippet svarar på din fråga, men kolla gärna (du kanske finner något nyttigt).
https://m.youtube.com/watch?v=d4KADBFqpR0
Och denna:
https://m.youtube.com/watch?v=1H6HrfX_qCA

Lycka till! :)

Tack snälla.

Titta så fint det bir nu!

Facit skrev t(2,3) + (-1,-1) men dom valde inte samma punkt som mig. Båda svaren beskriver samma linje på parameterform.