Linjeintegral - Stokes Universalsats
Har försökt att lösa följande uppgift genom tillämpning av Stokes Universalsats men får inte till det, se bild nedan:
→r×(→r×d→r)=→r(→r∙d→r)-r2d→r
Jag visar hur man kan göra med första termen, andra termen lämnas som övning. Säg till om du kör fast.
→ei∙∮→r→r∙d→r=∮(→ei∙→r)→r∙d→r=(Stokes)=∬∇×((→ei∙→r)→r)∙ˆndS=∬(∇(→ei∙→r)×→r+(→ei∙→r)∇×→r)ˆndS=∬(→ei×→r)∙ˆndS=∬→ei∙(→r׈n)dS=→ei∙∬(→r׈n)dS
Således har vi att ∮→r→r∙d→r=∬→r׈ndS.
PATENTERAMERA skrev:→r×(→r×d→r)=→r(→r∙d→r)-r2d→r
Jag visar hur man kan göra med första termen, andra termen lämnas som övning. Säg till om du kör fast.
→ei∙∮→r→r∙d→r=∮(→ei∙→r)→r∙d→r=(Stokes)=∬∇×((→ei∙→r)→r)∙ˆndS=∬(∇(→ei∙→r)×→r+(→ei∙→r)∇×→r)ˆndS=∬(→ei×→r)∙ˆndS=∬→ei∙(→r׈n)dS=→ei∙∬(→r׈n)dS
Således har vi att ∮→r→r∙d→r=∬→r׈ndS.
Jag är inte helt med på hur du räknar ut summan efter omskrivningen till Stokes. Jag antar att du roterar vektorerna och sen använder bac-cab? Påverkas inte värdet på vektorerna vid omskrivning?
Jag använder satsen som säger att
∇×(ϕ→A)=∇ϕ×→A+ϕ∇×→A.
Med ϕ(→r)=→ei∙→r och →A(→r)=→r.
Notera att ∇(→ei∙→r)=→ei och att ∇×→r=0.
Tack!
