Linjeintegral - Stokes Universalsats

$\overrightarrow{r}\times \left(\overrightarrow{r}\times d\overrightarrow{r}\right)=\overrightarrow{r}\left(\overrightarrow{r}\bullet d\overrightarrow{r}\right)-r^{2}d\overrightarrow{r}$

Jag visar hur man kan göra med första termen, andra termen lämnas som övning. Säg till om du kör fast.

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{e}}_i\bullet \oint \overrightarrow{r}\overrightarrow{r}\bullet d\overrightarrow{r}=\oint \left({\overrightarrow{e}}_i\bullet \overrightarrow{r}\right)\overrightarrow{r}\bullet d\overrightarrow{r}=\left(Stokes\right)=\iint \nabla \times \left(\left({\overrightarrow{e}}_i\bullet \overrightarrow{r}\right)\overrightarrow{r}\right)\bullet \hat{n}dS= \\ \iint \left(\nabla \left({\overrightarrow{e}}_i\bullet \overrightarrow{r}\right)\times \overrightarrow{r}+\left({\overrightarrow{e}}_i\bullet \overrightarrow{r}\right)\nabla \times \overrightarrow{r}\right)\hat{n}dS=\iint \left({\overrightarrow{e}}_i\times \overrightarrow{r}\right)\bullet \hat{n}dS=\iint {\overrightarrow{e}}_i\bullet \left(\overrightarrow{r}\times \hat{n}\right)dS={\overrightarrow{e}}_i\bullet \iint \left(\overrightarrow{r}\times \hat{n}\right)dS \end{gathered}$$

Således har vi att $\oint \overrightarrow{r}\overrightarrow{r}\bullet d\overrightarrow{r}=\iint \overrightarrow{r}\times \hat{n}dS$.

PATENTERAMERA skrev:

$\overrightarrow{r}\times \left(\overrightarrow{r}\times d\overrightarrow{r}\right)=\overrightarrow{r}\left(\overrightarrow{r}\bullet d\overrightarrow{r}\right)-r^{2}d\overrightarrow{r}$

Jag visar hur man kan göra med första termen, andra termen lämnas som övning. Säg till om du kör fast.

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{e}}_i\bullet \oint \overrightarrow{r}\overrightarrow{r}\bullet d\overrightarrow{r}=\oint \left({\overrightarrow{e}}_i\bullet \overrightarrow{r}\right)\overrightarrow{r}\bullet d\overrightarrow{r}=\left(Stokes\right)=\iint \nabla \times \left(\left({\overrightarrow{e}}_i\bullet \overrightarrow{r}\right)\overrightarrow{r}\right)\bullet \hat{n}dS= \\ \iint \left(\nabla \left({\overrightarrow{e}}_i\bullet \overrightarrow{r}\right)\times \overrightarrow{r}+\left({\overrightarrow{e}}_i\bullet \overrightarrow{r}\right)\nabla \times \overrightarrow{r}\right)\hat{n}dS=\iint \left({\overrightarrow{e}}_i\times \overrightarrow{r}\right)\bullet \hat{n}dS=\iint {\overrightarrow{e}}_i\bullet \left(\overrightarrow{r}\times \hat{n}\right)dS={\overrightarrow{e}}_i\bullet \iint \left(\overrightarrow{r}\times \hat{n}\right)dS \end{gathered}$$

Således har vi att $\oint \overrightarrow{r}\overrightarrow{r}\bullet d\overrightarrow{r}=\iint \overrightarrow{r}\times \hat{n}dS$.

Jag är inte helt med på hur du räknar ut summan efter omskrivningen till Stokes. Jag antar att du roterar vektorerna och sen använder bac-cab? Påverkas inte värdet på vektorerna vid omskrivning?

Jag använder satsen som säger att

$\nabla \times \left(\varphi \overrightarrow{A}\right)=\nabla \varphi \times \overrightarrow{A}+\varphi \nabla \times \overrightarrow{A}$.

Med $\varphi \left(\overrightarrow{r}\right)={\overrightarrow{e}}_i\bullet \overrightarrow{r}$ och $\overrightarrow{A}\left(\overrightarrow{r}\right)=\overrightarrow{r}$.

Notera att $\nabla \left({\overrightarrow{e}}_i\bullet \overrightarrow{r}\right)={\overrightarrow{e}}_i$ och att $\nabla \times \overrightarrow{r}=0$.

Tack!