Linjeintegral - Stokes Universalsats

Har försökt att lösa följande uppgift genom tillämpning av Stokes Universalsats men får inte till det, se bild nedan:

$\vec{r} \times (\vec{r} \times d \vec{r}) = \vec{r} (\vec{r} ∙ d \vec{r}) - r^{2} d \vec{r}$

Jag visar hur man kan göra med första termen, andra termen lämnas som övning. Säg till om du kör fast.

${\vec{e}}_{i} ∙ \oint \vec{r} \vec{r} ∙ d \vec{r} = \oint ({\vec{e}}_{i} ∙ \vec{r}) \vec{r} ∙ d \vec{r} = (S t o k e s) = \iint \nabla \times (({\vec{e}}_{i} ∙ \vec{r}) \vec{r}) ∙ \hat{n} d S = \iint (\nabla ({\vec{e}}_{i} ∙ \vec{r}) \times \vec{r} + ({\vec{e}}_{i} ∙ \vec{r}) \nabla \times \vec{r}) \hat{n} d S = \iint ({\vec{e}}_{i} \times \vec{r}) ∙ \hat{n} d S = \iint {\vec{e}}_{i} ∙ (\vec{r} \times \hat{n}) d S = {\vec{e}}_{i} ∙ \iint (\vec{r} \times \hat{n}) d S$

Således har vi att $\oint \vec{r} \vec{r} ∙ d \vec{r} = \iint \vec{r} \times \hat{n} d S$ .

PATENTERAMERA skrev:
$\vec{r} \times (\vec{r} \times d \vec{r}) = \vec{r} (\vec{r} ∙ d \vec{r}) - r^{2} d \vec{r}$

Jag visar hur man kan göra med första termen, andra termen lämnas som övning. Säg till om du kör fast.

${\vec{e}}_{i} ∙ \oint \vec{r} \vec{r} ∙ d \vec{r} = \oint ({\vec{e}}_{i} ∙ \vec{r}) \vec{r} ∙ d \vec{r} = (S t o k e s) = \iint \nabla \times (({\vec{e}}_{i} ∙ \vec{r}) \vec{r}) ∙ \hat{n} d S = \iint (\nabla ({\vec{e}}_{i} ∙ \vec{r}) \times \vec{r} + ({\vec{e}}_{i} ∙ \vec{r}) \nabla \times \vec{r}) \hat{n} d S = \iint ({\vec{e}}_{i} \times \vec{r}) ∙ \hat{n} d S = \iint {\vec{e}}_{i} ∙ (\vec{r} \times \hat{n}) d S = {\vec{e}}_{i} ∙ \iint (\vec{r} \times \hat{n}) d S$

Således har vi att $\oint \vec{r} \vec{r} ∙ d \vec{r} = \iint \vec{r} \times \hat{n} d S$ .

Jag är inte helt med på hur du räknar ut summan efter omskrivningen till Stokes. Jag antar att du roterar vektorerna och sen använder bac-cab? Påverkas inte värdet på vektorerna vid omskrivning?

Jag använder satsen som säger att

$\nabla \times (ϕ \vec{A}) = \nabla ϕ \times \vec{A} + ϕ \nabla \times \vec{A}$ .

Med $ϕ (\vec{r}) = {\vec{e}}_{i} ∙ \vec{r}$ och $\vec{A} (\vec{r}) = \vec{r}$ .

Notera att $\nabla ({\vec{e}}_{i} ∙ \vec{r}) = {\vec{e}}_{i}$ och att $\nabla \times \vec{r} = 0$ .

Tack!

Svara

Visa senaste svar