Linje tangerar kurva

Dra en linje från punkten till någon punkt på kurvan (ett t-värde som du inte säger). Vad har den linjen för lutning?

Vad är dy/dx för det t-värdet?

Om t=1 så blir lutningen 1, men jag vet inte hur jag ska derivera utan att ha några x eller y  

Jag ser en linje, men var är kurvan?

Vad menar du med gradient förresten? 

Jag drog en linje från punkten till en punkt på kurvan. Vet inte själv vad jag menar med gradient, men den brukar användas i liknande uppgifter har jag för mig. Det är väl ngt med att den pekar rakt utåt?

Försök till att rita kurvan. 

Koordinaterna för en punkt på kurvan är given som

(x(t),y(t))

Är du med på att du då har att

dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)

?

(kedjeregeln)

Ska det bli (2t-1)/2t?

Ja, precis.

Samtidigt vill du att tangenten ska gå från

(x(t),y(t)) på kurvan

till

(-2,-4)

Den nedre linjen ser ut att skära kurvan. 

Det kanske ser ut så, men det är en tangering.

En punkt på kurvan ligger på den räta linjen för alla parametervärden som är sådana att

    $A(t^2+1)+B(t^2-t)=C \iff (A+B)t^2 - Bt + (A-C) = 0 \iff t^2 - 2\beta t + \gamma = 0,$

där $2\beta = B/(A+B)$ och $\gamma = (A-C)/(A+B)$, under förutsättning att $A+B \neq 0.$

En kvadratkomplettering ger

    $t^2-2\beta t + \gamma = (t-\beta)^2 - (\beta^2-\gamma)$

och man ser att det finns två distinkta punkter som ligger på både kurvan och den räta linjen precis då

    $\beta^2 \neq \gamma \iff B^2\neq 4(A-C)\cdot(A+B)$. 

Punkten $(-2,-4)$ ska ligga på den räta linjen vilket medför följande samband för koefficienterna.

$-2A-4B=C \iff 2A + 4B + C = 0$.

Kravet på två distinkta punkter blir nu

    $B^2 \neq (3A+4B)(A+B) \iff 3A^2 + 7AB + 3B^2 \neq 0 \iff 3(A+B)^2 + AB \neq 0\ .$

Om $A$ och $B$ båda har samma tecken så kommer det alltid att finnas två distinkta punkter, men om de har olika tecken så finns det en möjlighet till existens av endast en punkt som samtidigt ligger på kurvan och på den räta linjen.

Micimacko skrev:

Jag drog en linje från punkten till en punkt på kurvan. Vet inte själv vad jag menar med gradient, men den brukar användas i liknande uppgifter har jag för mig. Det är väl ngt med att den pekar rakt utåt?

Gradient är den riktning i vilken en funktion av flera variabler växer snabbast. För en funktion f(x) av en variabel finns inget val, det är bara x man kan förändra. Nåja, man kan gå antingen uppåt eller nedåt, men det är inte så intressant. 

Helt meningslös är inte gradienten. Funktionen $f(x,y)=Ax+By$ bildar för olika värden på konstanten C nivåkurvor. Dvs gradienten till en nivåkurva (linje)

$\nabla f=(A,B)$

Är då en normal till linjen, vilket i sin tur betyder att linjens riktningskoefficient ges av

$\displaystyle k=-\frac{A}{B}$

Ett samband som gör lunchrasten lite roligare så här på en onsdag. Man skulle nu kunna roa sig med att studera

$\nabla f \cdot \mathbf{r}'(t)=0$ (linjens normal ska vara vinkelrät mot tangenten till kurvan)

--------------------------------------------------------------------------------

Själv föredrar jag

$\mathbf{r}'(t) \times (\mathbf{r}(t)-\mathbf{P}_0)=0$  (Kurvans tangent ska vara parallell med en vektor från $\mathbf{P}_0$ till punkten på kurvan)

Vilket ger kandidaterna $t=-1,\> \mathbf{r}(-1)=(2,2)$ och $t=3,\> \mathbf{r}(3)=(10,6)$

Jag var inne på typ samma tanke som guggle, och dina svar stämmer med facit. Nu var tentan på det här imorse och jag tror faktiskt att jag fick rätt svar på uppgiften som liknade den här, så jättetack allihop! Nu släpper jag det här för tillfället och plöjer på mot nästa veckas tentor, så ladda för diskretfrågor ;P