Linje integral

$x^2+y^2=1$ är ekvationen för figur i xy-planet , känner du igen vad det är? Vad har den för radie? Rita!

Kan du göra en parameterframställning för figuren, t.ex. baserat på bara en vinkel t?

Lägg sedan till att z-koordinaten för ett givet y ska vara $z=y$ så har du en parameterframställning i 3 dimensioner.

Jag löste uppgiften geometriskt, och hänvisade till symmetri. Kan man göra så?

Jag hade nog börjat med att parametrisera x och y polärt och bara tänkt på cylindern. Sen sätta z till samma som y blev.

Soderstrom skrev:

Jag löste uppgiften geometriskt, och hänvisade till symmetri. Kan man göra så?

Det beror lite på, men förmodligen inte :)

Planet lutar (0,-1,1) och kurvan bildar en ellips i planet. Fältsymmetrin är åtminstone inte trivial.

Känns som jag är helt ute och cyklar! 🚴‍♂️ Men vad tror ni?

EDIT: Jag gillar att cykla.

Hur kom $2\pi$ in i gränserna? Och varför skulle y vara noll?

Det stämmer att $\int (-yz\cos(\theta)+xz\sin(\theta))\,\mathrm{d}\theta=0$, men din motivering är inte helt övertygande.

Edit: Dessutom,

$\mathbf{r}(\theta)=\cos(\theta)\hat{i}+\sin(\theta)\hat{j}+\sin(\theta)\hat{k}$

$\mathbf{r}^{'}_\theta=-\sin(\theta)\hat{i}+\cos(\theta)\hat{j}+\cos(\theta)\hat{k}$

Varför försvann $\hat{k}$ komponenten?