Linje eller plan?

Gaussning ger: 

$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -2& 1\end{array}\right]\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}~\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& -4& -1\end{array}\right]\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}~\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.\end{array}\right]\begin{array}{c}2\\ \raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.\end{array}~\left[\begin{array}{ccc}1& 0& \raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.\\ 0& 1& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.\end{array}\right]\begin{array}{c}\raisebox{1ex}{$5$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.\\ \raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.\end{array}$

Dvs. Linjen $\left\{\begin{array}{l}x=\raisebox{1ex}{$5$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.-z·\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.\\ y=\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.-z·\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.\end{array}\right.$, som på en enklare form kan skrivas som $L=\left[\begin{array}{c}\raisebox{1ex}{$5$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.\\ \raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.\\ 0\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 4\end{array}\right]$, där t är reella tal. Den linjen skär inte noll, och kan således inte utgöra ett delrum av R^3. Däremot kan ett plan som innehåller linjen L, samt skär origo någonstans (och självklart hela R^3 självt), utgöra ett delrum av R^3.

Smutstvätt skrev:

Den linjen skär inte noll, och kan således inte utgöra ett delrum av R^3. Däremot kan ett plan som innehåller linjen L, samt skär origo någonstans (och självklart hela R^3 självt), utgöra ett delrum av R^3.

 WHAT?

WHY?

.. WHEN?

WHOM?

Det är krav för att utgöra ett delrum; det måste finnas en noll-(vektor/koordinat/polynom/whatever 😉). Jag brukar tänka på det i fråga om den allmänna regeln (gå absolut inte tillbaka i min posthistorik här på PA, please) om att ett delrum måste vara slutet under multiplikation med en skalär. Eftersom $a·T\left(x\right)=T\left(ax\right)$, måste det gälla att $0·T\left(x\right)$, vilket såklart är noll, måste vara lika med $T\left(0·x\right)=T\left(0\right)$. Därmed måste T(0) vara noll, dvs. funktionen måste skära origo. 

Hej!

Lösningsmängden är den räta linje ($L$) som går genom punkten $a=(1/4)(5,3,0)$ och har riktningsvektorn $v=(3,1,-4)$;

    $L = \{a+tv: t \in \mathbb{R}\}.$

Vektorerna $x = a$ (motsvarar $t=0$) och $y=a+v$ (motsvarar $t=1$) ligger i lösningsmängden. Om $L$ är ett underrum till $\mathbb{R}^3$ så ska vektorn $x-y = -v$ också ligga i underrummet, vilket den inte gör (Varför inte?); därför är $L$ inte ett underrum.

Uppgiften handlar om att finna alla underrum som har $L$ som en delmängd.

Mängden ($M$) som spänns upp av de två vektorerna $a$ och $v$ är ett exempel på ett sådant underrum.

    $M = \{sa+tv\,:\,s\in\mathbb{R}\text{ och } t\in\mathbb{R}\}.$

Tackar! Den pourquoi du comment blir lite klarare :)

Märker nu att jag har även slarvat med en inversion mellan x och z när jag skrev om min lösning igår. Det var $(-3, -1, 4)^{T}$. pust.

Albiki skrev:

 

Vektorerna $x = a$ (motsvarar $t=0$) och $y=a+v$ (motsvarar $t=1$) ligger i lösningsmängden. Om $L$ är ett underrum till $\mathbb{R}^3$ så ska vektorn $x-y = -v$ också ligga i underrummet, vilket den inte gör (Varför inte?); därför är $L$ inte ett underrum.

 

 Jag trodde att om vi ta punkten $a = (1/4)(5,3,0)$ kan inte tillfredsställa $x-y = -z$, men $x-y = -v$ förstår jag inte!

Så lösningen är att ta $a - origo$ och korsa den med $(-3, -1, 4)^{T}$?