Linjärt oberoende

Hej,

Jag har lite frågor om linjärt oberoende och ifall jag har uppfattat innebörden rätt med hänseende på följande uppgift.

Hur jag uppfattar definitionen:

Två vektorer, v, u, är linjärt oberoende om, och endast om, ekvationen x(u)+y(v)=0, då x=y=0. Skulle ekvationen bli skiljd från noll är alltså vektorerna linjärt beroende, eller?

Till exempel om jag ska finna värdet(en) på k då följande vektorer är oberoende:

u=(1,2) och v=(k,3)

Skriver om till ekvationssystem och med successiv elimination får jag följande

$\{\begin{cases} x + k y = 0 \\ 2 x + 3 y = 0 \end{cases} ~ \{\begin{array}{l} x + k y = 0 \\ 3 y - 2 k y = 0 \end{array} ~ \{\begin{cases} x + k y = 0 \\ y (3 - 2 k) = 0 \end{cases} A l l t s å m å s t e i e k v (2) y = 0 e l l e r 3 - 2 k = 0 V i l k e t g e r k = \frac{3}{2}$

Och om jag ska tolka resultatet så är vektorerna endast linjärt oberoende vid k=3/2? Och vid övriga värden på k är vektorerna linjärt beroende? Har jag resonerat rätt, eller hur skulle uppgiften annars redovisats?

Nej, tvärtom. Om k = 3/2 är vektorerna linjärt beroende. Det ser du lätt om du ritar upp dem i samma koordinatsystem - då hamnar de båda punkterna på samma räta linje genom origo, och alltså kan en summa av dessa båda vektorer endast resultera i punkter som ligger på denna linje och inte överallt i planet.

Aha,

så linjerna är linjärt oberoende för alla värden på k >3/2 och k< 3/2 då?

Ja. Då kan du nå alla punkter i planet genom (x,y) = au + bv.

Hade man kunnat göra det som ett motsägelsebevis när man gör uppgiften? Dvs. genom att ta fram vilka k som linjerna är linjärt beroende har man även bevisat vilka k som gör linjerna oberoende?

Svara

Visa senaste svar