Linjärt oberoende vektorer
Hej! Har haft lite svårt att begripa vad som menas med att vektorer är linjärt beroende och oberoende. Hittade däremot denna videon som förklarade det väldigt bra och känner att jag förstår det nu. https://www.youtube.com/watch?v=X84BzPED3eU
Däremot så fastnar jag på det sista "enkla" steget. Utifrån vektorerna kommer han fram med en matris för C1, C2 och C3. Detta förstår jag. Däremot så fastnar jag vid 4:30 där han säger att "vi kan se att man kan välja C3 fritt" och han ger den värdet t. Utifrån detta kan han sen titta på matrisen och då ge C1 och C2 värden också. Jag förstår hur han löser ut C1 och C2 när han vet C3 men hänger inte alls med på varför vi kan välja t fritt. Är säkert super simpelt men skulle någon kunna förklara?
Om två vektorer är linjärt beroende så innebär det att man skriva den ena som en multipel av den andra, dvs de ligger på samma linje eller att de pekar åt motsatta håll men ändå ligger på en linje tillsammans, skulle de peka åt två helt olika håll i koordinatsystemet (exempelvis ha olika vinklar från x-axeln) så är de oberoende av varandra, det spelar liksom ingen roll vilket tal du multiplicerar med den ena vektorn de kommer aldrig vara lika med varandra. Samma sak gäller om du har fler än två vektorer.
När han förenklade matrisen genom elimination så fick han på de två sista raderna 0=0, dessa rader ger oss ingen information. Iden om att välja C3 fritt (så kallad en fri variabel) händer bara när vi har fler ekvationer än vi har okända variabler, eller fler okända än ekvationer. Vi behöver aldrig välja dessa fria variabler och skapa en parameter om vi har exempelvis en 3x3 matris, 2x2, 4x4 etc. Men i just detta exempel så hade vi 3 okända (C1, C2, C3) men 4 ekvationer (4 rader), första kolumnen representerade C1, andra kolumnen C2 och tredje C3. Vi ser vid 4:20 att C3 saknar en ledande etta (pivot) när vi fick matrisen på trappstegsform, så då säger vi att C3 är en fri variabel och helt enkelt blir en parameter som vi ersätter med en ny symbol som är något okänd tal, exempelvis t=C3 och sedan så kan man skriva C2 och C1 med hjälp av den nya variabeln. Det finns många videos som förklarar detta mycket bättre.
I videon använder man Gauss elimination. Denna metod försöker hitta C3 först (därför att tredje raden måste ha två nollor efter eliminationen). Men i detta fall ser vi bara nollor i tredje raden. Det betyder:
0*c1+0*c2+0*c3=0
Så c3 kan vara hur mycket som hälst.
Tack båda två, förstår nu!
