Linjärt oberoende vektorer
Om vektorer är linjärt oberoende ,hur vet man vilka vektorer som finns i det rummet de spänner upp på? Vet att det finns krav som behöver uppfyllas för att vektorer ska uppnå linjärt oberoende
Om vi begränsar oss till R3 så har du tre möjligheter.
Du har tre linjärt oberoende vektorer. Då är de en bas för R3 och varje vektor ligger i det linjära spannet.
Du har två linjärt oberoende vektorer v1 och v2. Då ligger en vektor x i det linjära spannet om och endast om x•(v1 x v2) = 0.
Du har en nollskild vektor v. Då ligger en vektor x i det linjära spannet om och endast om x x v = 0.
PATENTERAMERA skrev:Om vi begränsar oss till R3 så har du tre möjligheter.
Du har tre linjärt oberoende vektorer. Då är de en bas för R3 och varje vektor ligger i det linjära spannet.
Du har två linjärt oberoende vektorer v1 och v2. Då ligger en vektor x i det linjära spannet om och endast om x•(v1 x v2) = 0.
Du har en nollskild vektor v. Då ligger en vektor x i det linjära spannet om och endast om x x v = 0.
Varför är det så att i dessa två fall så är det lika med 0 då vi har v1 och v2 vektorer som är linjärt oberoende ? Som jag förstår det om tredje vektorn är 0 eller något annat som gör att skalärprodukten mellan den och de 2 kvarvarande vektorer ej blir lika med 0 så ligger ej den vektor i det linjära spannet ?
Som den ursprungliga uppgiften är ställd, så bör man också beakta icke-euklidiska rum, dvs rum som saknar skalärprodukt och vars dimension i princip är godtycklig. Det gör inte frågan mer svårbesvarad utan snarare lättare när man slipper belastande struktur.
Fråga 1. Vilka vektorer tillhör rummet? En STOR SATS från matematikens grundvalar säger, att varje lineärt rum har en bas (ua )A av lineärt oberoende vektorer (se fråga 2), där A är en indexmgd. Rummet består alla ändliga linjärkombinationer av sådana basvektorer. Ex v=ca1ua1 + ca2ua2 +... +canuan
Fråga 2. Vilka krav behöver uppfyllas...? För att en familj (ua)A ska vara lineärt oberoende så måste för varje ändlig lineärkombination som är = 0-vektorn, gälla att samtliga koefficienter ca = 0.
Koefficienterna (skalärerna) hämtas i regel från R eller C, men varje kropp kan förse rummet med skalärer.
destiny99 skrev:PATENTERAMERA skrev:Om vi begränsar oss till R3 så har du tre möjligheter.
Du har tre linjärt oberoende vektorer. Då är de en bas för R3 och varje vektor ligger i det linjära spannet.
Du har två linjärt oberoende vektorer v1 och v2. Då ligger en vektor x i det linjära spannet om och endast om x•(v1 x v2) = 0.
Du har en nollskild vektor v. Då ligger en vektor x i det linjära spannet om och endast om x x v = 0.
Varför är det så att i dessa två fall så är det lika med 0 då vi har v1 och v2 vektorer som är linjärt oberoende ? Som jag förstår det om tredje vektorn är 0 eller något annat som gör att skalärprodukten mellan den och de 2 kvarvarande vektorer ej blir lika med 0 så ligger ej den vektor i det linjära spannet ?
Om x•(v1 x v2) 0 så ligger x inte i span(v1, v2). Svarar det på din fråga? Notera att det linjära spannet av varje uppsättning av vektorer är ett delrum, och innehåller därför alltid nollvektorn.
PATENTERAMERA skrev:destiny99 skrev:PATENTERAMERA skrev:Om vi begränsar oss till R3 så har du tre möjligheter.
Du har tre linjärt oberoende vektorer. Då är de en bas för R3 och varje vektor ligger i det linjära spannet.
Du har två linjärt oberoende vektorer v1 och v2. Då ligger en vektor x i det linjära spannet om och endast om x•(v1 x v2) = 0.
Du har en nollskild vektor v. Då ligger en vektor x i det linjära spannet om och endast om x x v = 0.
Varför är det så att i dessa två fall så är det lika med 0 då vi har v1 och v2 vektorer som är linjärt oberoende ? Som jag förstår det om tredje vektorn är 0 eller något annat som gör att skalärprodukten mellan den och de 2 kvarvarande vektorer ej blir lika med 0 så ligger ej den vektor i det linjära spannet ?
Om x•(v1 x v2) 0 så ligger x inte i span(v1, v2). Svarar det på din fråga? Notera att det linjära spannet av varje uppsättning av vektorer är ett delrum, och innehåller därför alltid nollvektorn.
Ah okej men kan x vara nollvektorn också, misstänker att den ej är det utan skalärprodukten mellan x och vektorerna v1 och v2 är lika med 0?
Ja, nollvektorn ligger i span(v1, v2). Och 0•(v1 x v2) = 0, så allt är OK.
PATENTERAMERA skrev:Ja, nollvektorn ligger i span(v1, v2). Och 0•(v1 x v2) = 0, så allt är OK.
Yes okej då vet jag!
