Linjärt oberoende

Linjärt oberoende innebär att vektorerna är vinkelräta, dvs den ena kan inte projiceras på den andra. Man kallar det också ortogonala vilket betyder samma sak. 

Då har du lite hjälp av att rita upp vektor (1,2) i ett xy-plan och se vilka riktningar som är ortogonala mot den ritade vektorn. När du gjort det och förstår sammanhanget så är det enkelt att lösa det analytiskt. 

Man brukar säga att vektorprodukten av två oberoende vektorer är 0 och det kan man också använda men det är bra att förstå sammanhanget först. 

Vad är "det" som ska bli lika med noll? Kan du uttrycka det matematiskt?

Julialarsson321 skrev:

Jag har bara exempel där de är ekvationssystem, inte koordinater

Om koordinaterna verkligen är det enda som förvirrar dig i denna uppgift så kan det som exempel nämnas att om u=(x, y, z) så är u=xe₁+ye₂+ze₃, där e₁, e₂, e₃ är en bas.

Principen är alltså densamma oavsett om vektorerna är givna i termer eller i koordinater. 

CurtJ skrev:

Linjärt oberoende innebär att vektorerna är vinkelräta, dvs den ena kan inte projiceras på den andra. Man kallar det också ortogonala vilket betyder samma sak. 

Då har du lite hjälp av att rita upp vektor (1,2) i ett xy-plan och se vilka riktningar som är ortogonala mot den ritade vektorn. När du gjort det och förstår sammanhanget så är det enkelt att lösa det analytiskt. 

Man brukar säga att vektorprodukten av två oberoende vektorer är 0 och det kan man också använda men det är bra att förstå sammanhanget först. 

Jag måste rätta mig själv här. När jag tänker efter så innerbär linjärt oberoende när det gäller två vektorer att de är linjärt oberoende om de inte är parallella. Linjärt beroende innebär, naturligtvis, att den ena vektorn kan uttryckas med hjälp av en skalär faktor av den andra och det kan den bara om de båda vektorerna är parallella. Slutsatsen är ändå att rita upp xy-planet och se för vilket k vektorerna är oberoende. Det kan vara enklare att analysera för vilket k vektorerna är beroende. 

Analytiskt kan du använda determinanten för matrisen som har vektorerna som kolumner. Den är 0 om vektorerna är beroende. 

Ber om ursäkt om jag förvirrade dig. 

Skulle ni kunna visa hur? Jag tycker detta är så svårt 

Hej Julia, är det här en gymnasiekurs?

En linjärkombination av två vektorer betyder att man lägger ihop vektorerna (med några koefficienter framför). Vi kallar talen (eller koefficienterna eller hur mycket man ska ta ta av varje vektor) för $\lambda_1$ respektive $\lambda_2$. Så här ser alltså en linjärkombination ut:

$\lambda_1\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix}k\\3\end{pmatrix}$

Man säger att vektorerna är linjärt oberoende om det inte finns något sätt att välja talen $\lambda_1$ och $\lambda_2$ så att summan blir 0, utan att sätta båda talen $\lambda_1$ och $\lambda_2$ till 0 samtidigt. Man vill alltså att följande ekvation ska sakna lösningar:

$\lambda_1\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix}k\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\quad \lambda_1\neq 0,\, \lambda_2\neq 0$

När man bara har två vektorer betyder det att vektorerna är linjärt oberoende om de pekar åt olika håll$\,^*$. Då finns det ju inget sätt att lägga ihop dem och få nollvektorn, utan att ta exakt 0 av varje vektor.

Det enda vi behöver undvika för att vektorerna ska vara linjärt oberoende är alltså fallet när vektorerna är parallella.

VI kan klura ut för vilket eller vilka värden på $k$ som vektorerna är parallella och sedan undvika dem. För vilka värden på $k$ är vektorerna parallella?

$\,^*$Tekniskt sett saknar nollvektorn riktning men är ändå linjärt beroende varje annan vektor.

Är detta korrekt?

Ja, det är korrekt - vektorerna är linjärt oberoende för alla k≠3/2. Bra jobbat! :)