Linjärt oberoede

Hej, vad finns det för koppling mellan att ta reda på huruvida vektorerna är linjärt oberoende och att dessa vektorer är parallella med planet? Hur kan informationen om att vektorerna är parallella med planet hjälpa mig lösa uppgiften? Tack på förhand!

Rent intuitivt så är det ganska klart att om vektorerna ligger i ett och samma plan så kan de inte vara linjärt oberoende.

Om vektorerna är parallella med planet så är de ortogonala mot planets normal $\vec{n} = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}]$ .

Dvs det gäller att $\vec{n}$ • $\vec{v}$ = $\vec{n}$ • $\vec{u}$ = $\vec{n}$ • $\vec{w}$ = 0.

Ett sätt att lösa problemet är att göra ett motsägelsebevis. Dvs vi antar att vektorerna är linjärt oberoende och visar att detta leder till en motsägelse. Därför måste antagandet vara falskt och vektorerna är linjärt beroende.

Notera att om vektorerna är linjärt oberoende så utgör de en bas för $ℝ^{3}$ . Detta betyder i så fall att varje vektor i $ℝ^{3}$ kan skrivas som en linjärkombination av vektorerna. Detta kan utnyttjas för att göra motsägelsebeviset.

Ja, det var i alla fall en liten hint om hur man kan göra. Säg till om du inte kommer vidare själv.

Visa spoiler

Om vi antar att de tre vektorerna är linjärt oberoende så utgör de som sagts en bas för $ℝ^{3}$ . Det finns därför skalärer a, b och c sådana att

$\vec{n} = a \vec{u} + b \vec{v} + c \vec{w}$ .

Vi skalärmultiplicerar båda led med $\vec{n}$

$\vec{n} ∙ \vec{n} = \vec{n} ∙ (a \vec{u} + b \vec{v} + c \vec{w})$ .

$3 = a \vec{n} ∙ \vec{u} + b \vec{n} ∙ \vec{v} + c \vec{n} ∙ \vec{w}$

$3 = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = 0 .$

Vi får därför att antagandet att vektorerna är linjärt oberoende reslulterar i det uppenbart felaktiga påståendet att 3 = 0. Vårt antagande måste därför vara felaktigt, varför vektorerna måste vara linjärt beroende. QED

Svara