Linjärt (o)beroende
Hej!
Jag förstår inte hur man ser ifall en linjärkombination är linjärt beroende eller oberoende... t.ex. följande uppgift:
Är vektorerna u=(1,2,3) och v=(-2,1,4) linjärt beroende eller oberoende?
Jag sätter följande ekvation:
Jag Gausse-eliminerar denna och får ut följande :
Då tänker jag att eftersom samtliga är lika med 0 så är dem linjärt beroende. Men detta stämmer tydligen inte, de är oberoende. Hur fungerar detta? Tacksam hjälp!
Om vektorer är linjärt beroende innebär det att någon vektor kan uttryckas genom att ta de skalärer gånger de andra vektorerna och lägga samman dessa. T.ex. är u=(1,0,0) och v=(2,0,0) linjärt beroende eftersom v=2*u. Man kan uttrycka detta genom att undersöka vilka skalärer som ger att man får nollvektorn, dvs. för vilka värden på är det sant att . I sådant fall kan man skriva antingen eller vilket är att uttrycka den ena vektorn som den andra gånger en skalär.
I ekvationen du ställde upp kom du fram till att de enda värden som ger 0 är om båda :n är noll. Detta gör att ovanstående förhållande kräver division med noll, vilket är omöjligt.
Ett annat sätt att uttrycka det Bedinsis beskriver är att använda den direkta definitionen på linjärt oberoende: Låt u och v vara två godtyckliga vektorer. u och v är de lin oberoende omm au+bv=0 medför a och b = 0 (a,b är skalärer). Det är precis det som du kommit fram till: dina lambda-värden är 0. Det skall tilläggas att Definitionen kan användas på en godtycklig mängd av vektorer.
