Linjärt ekvationssystem - vad är r(x)?

EDIT: Tänkte inte tillräckligt långt, det går inte att tillämpa restsatsen här.

Med hjälp av polynomdivision kan ju alla polynom skrivas

$p(x)=q(x)t(x)+r(x)$

där $t(x)$ är polynomet man delar med $q(x)$ är kvoten och $r(x)$ resten. Efter tillräckliga iterationer av polynomdivision kommer graden hos $r(x)$ alltid vara mindre än graden av $t(x)$.

Om vi exempelvis delar ett polynom $p(x)$ med $x-1$ och vet att $p(1)=5$ kan vi utnyttja detta faktum. Polynomdivision ger ju:

$p(x)=q(x)(x-1)+r(x)$

$r(x)$ har då grad noll (eftersom det skulle ha mindre grad än det vi delar med) och är en konstant. Sätter vi in $x=1$ får vi sedan:

$p(1)=q(1)(1-1)+r(1)$

$p(1)=r(1)$

då vi visste att $p(1)=5$ får vi att $r(1)=5$, och även $r(x)=5$. Kan du göra något liknande med ditt polynom?

Polynomet delas med (x-0)(x-2)(x-5).

Det är tre olika uttryck och det gör det ju lite svårare.

Ska jag multiplicera ihop dessa tre? Då får jag att polynomet delas med $x^3-5x^2+8x$.

Eftersom  divisorn har graden 3 så kommer r(x) ha graden 2, 1 eller 0.

(EDIT: ändrade från att felaktigt ha skrivit att divisorn hade graden 2.)

Är jag rätt ute?

Eller ska jag jobba med faktorerna (x-0), (x-2) och (x-5) var för sig?

Ditt polynom har väl grad 3?

r(0) = 3
r(2) = 1
r(5) = 5

Nu kan du bestämma polynomet entydigt.

Ja, det är riktigt. Divisorn har graden 3 och r(x) kan då ha graden 2 eller lägre.

Jag hade förstått genom restsatsen att 

r(0)=3

r(2)=1

r(5)=5

men jag vet ändå inte hur jag ska få fram resten. Jag antar att den kommer att se ut som 

$x^2+a eller x^2-a$ 

där a är en konstant. Men jag är inte säker.

Laguna skrev:

Ditt polynom har väl grad 3?

r(0) = 3
r(2) = 1
r(5) = 5

Nu kan du bestämma polynomet entydigt.

Jag kan dessvärre inte se hur jag ska kunna bestämma polynomet entydigt. Är polynomet som åsyftas divisorn $x^3-5x^2+8x$som jag fick genom att multiplicera (x-0)(x-2)(x-5)?

Sedan är det ju resten som ska bestämmas också.

Ska jag sätta i x=0, x=2 och x=5 i divisorn och se vad det blir? Är det relevant?

Du har ju kommit fram till att resten måste vara av grad 2 eller lägre, d.v.s. $r(x)=ax^2+bx+c$.

Med Lagunas villkor kan du bestämma $a$, $b$ och $c$.

Jag har nu löst uppgiften i en annan tråd här på pluggakuten och fick att 

r(x)= $\frac{7}{15}{x}^2-\frac{29}{15}x+3$.

Tack för hjälpen!