Linjärt beroende polynom

"Låt $P_{n}$ vara det linjära rummet av polynom av grad $\leq n$ . Antag att polynomen $p_{1}, p_{2}, . . ., p_{n + 1} \in P_{n}$ har nollställe i origo. Visa att ${p_{1}, p_{2}, . . ., p_{n + 1}}$ är linjärt beroende." Jag antar att man ska visa att polynomen spänner upp $P_{n}$ , men inte kan utgöra en bas för rummet (alltså inte kan vara linjärt oberoende). Att det spänner upp rummet förstår jag (det är n+1 st polynom), men varför kan de inte utgöra en bas?

Eller hm, det kanske inte är självklart att de spänner upp rummet (eftersom det inte kan finnas med någon konstant, förutom 0)? Däremot kanske den här lösningen fungerar: Antingen måste nollpolynomet finnas med i mängden eller så finns två av samma gradtal med (eftersom polynomen har nollställe i origo). Ex i $P_{3}$ kan vi ha ${x, 2 x, x^{2}, x^{3}}$ . Därmed måste mängden polynom vara linjärt beroende. Håller det resonemanget?

Ja det stämmer, typ iaf. Flera polynom av samma gradtal kan vara oberoende, men polynom utan konstanter får en dimension lägre än hela rummet. Och du kan aldrig ha fler oberoende vektorer än dimensioner.

Micimacko skrev:
Ja det stämmer, typ iaf. Flera polynom av samma gradtal kan vara oberoende, men polynom utan konstanter får en dimension lägre än hela rummet. Och du kan aldrig ha fler oberoende vektorer än dimensioner.

Ah, ok. Så den mängden av n+1 st polynom spänner upp ett underrum av dimension n? Men eftersom vi har n+1 polynom i ett n-dimensionellt underrum är de linjärt beroende?

Matte357 skrev:
Micimacko skrev:
...
Ah, ok. Så den mängden av n+1 st polynom spänner upp ett underrum av dimension n? Men eftersom vi har n+1 polynom i ett n-dimensionellt underrum är de linjärt beroende?

Notationen är lite kontraintuitiv men $P_n$ är faktiskt ett (n + 1)-dimensionellt rum eftersom polynom med grad n kan ha upp till (n + 1) termer. Så det argumentet ensamt räcker inte.

SeriousCephalopod skrev:
Matte357 skrev:
Micimacko skrev:
...
Ah, ok. Så den mängden av n+1 st polynom spänner upp ett underrum av dimension n? Men eftersom vi har n+1 polynom i ett n-dimensionellt underrum är de linjärt beroende?
Notationen är lite kontraintuitiv men $P_n$ är faktiskt ett (n + 1)-dimensionellt rum eftersom polynom med grad n kan ha upp till (n + 1) termer. Så det argumentet ensamt räcker inte.

Så hur ska man då stringent visa att de är linjärt beroende?

Om vi jämför $\{p_i\}$ -basen som beskrivs med något som vi vet är en bas till $P_n$ .

$B = \{1, x, x^2 ,..., x^{n - 1}, x^n\}$

hur skiljer sig denna bas från en bas där alla polynomen har 0 som rot. I den skillnaden ligger en väg till varför $\{p_i\}$ inte kan vara en bas.

SeriousCephalopod skrev:
Om vi jämför $\{p_i\}$ -basen som beskrivs med något som vi vet är en bas till $P_n$ .
$B = \{1, x, x^2 ,..., x^{n - 1}, x^n\}$
hur skiljer sig denna bas från en bas där alla polynomen har 0 som rot. I den skillnaden ligger en väg till varför $\{p_i\}$ inte kan vara en bas.

Ja, vi har ju uppenbarligen ingen konstant. Och alltså ett element mindre? Det visar ju isf att de inte kan spänna upp $P_{n}$ (man kan inte nå alla polynom i $P_{n}$ utan någon konstant), men detta var ju inte uppgiften.

Okej så inget polynom med en nollskilld konstantterm kan skrivas som en linjär kombination av $\{p_i\}$ eftersom alla dessa saknar konstanttermer.

Det betyder att $\{p_i\}$ inte spänner upp hela $P_n$ utan endast ett underrum av polynom som inte har konstanttermer. edit: nu kanske du kan blanda in dimension igen.

SeriousCephalopod skrev:
Okej så inget polynom med en nollskilld konstantterm kan skrivas som en linjär kombination av $\{p_i\}$ eftersom alla dessa saknar konstanttermer.
Det betyder att $\{p_i\}$ inte spänner upp hela $P_n$ utan endast ett underrum av polynom som inte har konstanttermer.

Ja, det är jag med på. Men hur drar med från det slutsatsen att mängden är linjärt beroende? Är det inte som jag skrev tidigare; att vi måste ha två polynom av samma gradtal i mängden. Och två polynom av samma gradtal (utan konstantterm) är linjärt beroende. Och därmed är hela mängden linjärt beroende?

Att en mängd innehåller två polynom med samma grad tycker jag inte per se utesluter att det är en bas.

$\{1 + x, 1 - x\}$ är en fullgod bas i $P_1$ trots att båda polynom har samma grad.

Ditt tidigare dimensionsargument som du försökte tillämpa på $P_n$ var inte helt fel ute men det var lite i förtid. Om du nu tänker på att vi nu vet att $\{p_i\}$ spänner upp ett delrum till $P_n$ och inte hela rummet så kan vi börja fundera på dimensionen hos detta delrum och vad den implicerar.

SeriousCephalopod skrev:
Att en mängd innehåller två polynom med samma grad tycker jag inte per se utesluter att det är en bas.
$\{1 + x, 1 - x\}$ är en fullgod bas i $P_1$ trots att båda polynom har samma grad.
Ditt tidigare dimensionsargument som du försökte tillämpa på $P_n$ var inte helt fel ute men det var lite i förtid. Om du nu tänker på att vi nu vet att $\{p_i\}$ spänner upp ett delrum till $P_n$ och inte hela rummet så kan vi börja fundera på dimensionen hos detta delrum och vad den implicerar.

Fast nu är det ju givet att vi inte har konstanter (nollställe i origio)? Om vi är i $P_{3}$ kan vi ex ha mängden av 3+1=4 st polynom ${x, 2 x, x^{2}, x^{3}}$ vilka alla har ett nollställe i origo. Eftersom x och 2x är linjärt beroende är hela mängden linjärt beroende.

Ja, det stämmer men du behöver lite precision i ditt språk om du ska göra ett allmännt påstående och inte bara ett exempel.

Om jag tog

$\{x + 2x^2 - 2x^3, 3x - 2x^2 + x^3, -5x + 5x^3, 3x^2 - x^3\}$

för $P_3$ skulle de mycket riktigt vara så att de är linjärt beroende men det är inget jag tycker att man kan se från att det finns två(4) som har samma grad.

SeriousCephalopod skrev:
Ja, det stämmer men du behöver lite precision i ditt språk om du ska göra ett allmännt påstående och inte bara ett exempel.
Om jag tog
$\{x + 2x^2 - 2x^3, 3x - 2x^2 + x^3, -5x + 5x^3, 3x^2 - x^3\}$
för $P_3$ skulle de mycket riktigt vara så att de är linjärt beroende men det är inget jag tycker att man kan se från att det finns två(4) som har samma grad.

Ah, jag förstår. Men jag om kör på dimensionsresonemanget istället, gäller det då att den givna mängden av n+1 st polynom spänner upp ett underrum av dimension n? Men eftersom vi har n+1 polynom i ett n-dimensionellt underrum är de linjärt beroende? (Som jag skrev tidigare i tråden)

Ja, för iochmed att underrummet har lägre dimension då vet vi garanterat att dess dimension är $\leq n$ och därmed, som du säger, att n+1 vektorer måste vara linjärt beroende.

SeriousCephalopod skrev:
Ja, för iochmed att underrummet har lägre dimension då vet vi garanterat att dess dimension är $\leq n$ och därmed, som du säger, att n+1 vektorer måste vara linjärt beroende.

Ah, ok. Men implicerar verkligen att mängden är linjärt beroende i underrummet att mängden är linjärt beroende i $P_{n}$ ? Vi kan väl tex ha 3 vektorer i $R^{2}$ som (alltid) är linjärt beroende, men dessa behöver väl inte vara linjärt beroende i $R^{3}$ eller $R^{4}$ för det?

Kan du ge ett exempel på scenariot du tänker dig? edit: med R^2 och R^3 tillexempel.

SeriousCephalopod skrev:
Kan du ge ett exempel på scenariot du tänker dig? edit: med R^2 och R^3 tillexempel.

Hm, jag kanske snurrade till det lite här... Men det känns inte helt uppenbart att linjärt beroende polynom i ett underrum per se också måste vara linjärt beroende i "överrrummet".

Det är bra att utvärdera sina antaganden.

Linjärt beroende mängd betyder ju att en av vektorerna i mängden ska kunna skrivas som en linjär kombination av de övriga vektorerna i mängden. Det är ju ingenting som beror av i vilket underrum de ligger; kan en skrivas som en linjär kombinaiton av de övriga så är det sant oberoende av det omgivande rummet.

Sedan kan dimensionen hos rummet eller underrummet användas som ett verktyg för att avgöra sakers beroenden.

Svara

Visa senaste svar