Linjärt beroende/oberoende

Hej har en uppgift som lyder

Determine if the following sets of vecotrs are linearly independent.

a. $v_{1} = [\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}], v_{2} = [\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}]$

Jag har en sats som säger "An indexed set of vectors ${v_2,...,v_p}$ in $R^n$ is said to be linearly independent if the vector equation $x_1v_1+x_2v_2+...+x_pv_p=0$ has only the trivial solution. The set ${v_2,...,v_p}$ is said to be linearly dependent if there exists weights $c_1,...,c_p$ , not all zero, such that $c_1v_1+c_2v_2+...+c_pv_p=0$ "

Vad jag sen gjorde var att jag satt $x_1v_1+x_2v_2=0$ detta är ju två linjer som ligger på varandra vilket ger oändligt många lösningar och inte en trivial lösning?

Det jag undrar är hur jag ska tolka satsen för att avgöra om vektorerna är linjärt oberoende. Finns det något enklare sätt att avgöra beroende och oberoende?

Skriv in dem i en matris och beräkna determinanten. Se exempel nedan:

https://math.stackexchange.com/questions/412563/determine-if-vectors-are-linearly-independent

Enligt din sats är de linjärt beroende om det finns en lösning på ekvationen du skrivit upp som INTE är den triviala dvs x1=x2=0, för den lösningen finns ju alltid. Och som du säger finns det oändligt antal lösningar eftersom varje gång x1=-x2 är det en lösning. Så eftersom du nu har fler lösningar än den triviala är alltså vektorerna linjärt beroende.

Tillägg: 26 jun 2022 17:16

Jag har skrivit lite fel på lösningen, det är ju x1=-2x2

I detta fallet har du v₂=2 v₁dvs 2 v₁+(-1)v₂=0 , som är en lineärkombination med de icke-triviala koefficienterna 2 och -1. De båda vektorerna är då linjärt beroende enligt den ovan givna definitionen. Man kan också uttrycka det så här: Om v₁.....v_n är en samling vektorer där någon av dem kan uttryckas som en linjärkombination av de andra, så är denna samling linjärt beroende. Om detta inte är möjligt så är samlingen linjärt oberoende.

Hondel skrev:
Enligt din sats är de linjärt beroende om det finns en lösning på ekvationen du skrivit upp som INTE är den triviala dvs x1=x2=0, för den lösningen finns ju alltid. Och som du säger finns det oändligt antal lösningar eftersom varje gång x1=-x2 är det en lösning. Så eftersom du nu har fler lösningar än den triviala är alltså vektorerna linjärt beroende.

Tillägg: 26 jun 2022 17:16

Jag har skrivit lite fel på lösningen, det är ju x1=-2x2

Tack så himla mycket :)

tomast80 skrev:
Skriv in dem i en matris och beräkna determinanten. Se exempel nedan:

https://math.stackexchange.com/questions/412563/determine-if-vectors-are-linearly-independent

Tack ska du ha, bra sammanfattning på sidan!

Tomten skrev:
I detta fallet har du v₂=2 v₁dvs 2 v₁+(-1)v₂=0 , som är en lineärkombination med de icke-triviala koefficienterna 2 och -1. De båda vektorerna är då linjärt beroende enligt den ovan givna definitionen. Man kan också uttrycka det så här: Om v₁.....v_n är en samling vektorer där någon av dem kan uttryckas som en linjärkombination av de andra, så är denna samling linjärt beroende. Om detta inte är möjligt så är samlingen linjärt oberoende.

Tack ska du ha!

Svara

Visa senaste svar