Linjärt beroende

Vad kan man säga om dimensionen av nollrummet ifall man vet att talet $0$ är ett av egenvärdena till $\mathbf{A}$?

Vad kan man säga om dimensionen av värderummet, då?

Tänk på att $\mathbf{A}\mathbf{u}, \mathbf{A}^2\mathbf{u}, \ldots, \mathbf{A}^n\mathbf{u}$ är $n$ st vektorer som alla ligger i värderummet av $\mathbf{A}$. Kan $n$ st vektorer vara linjärt oberoende när man vet det man vet om värderummets dimension?

Nolldim är minst 1? Rangen är därmed max n-1 och n linjärt oberoende vektorer kan ej ligga i dimension n-1? 

Exakt!

Vi vet ju rangA. Men vad händer med rangA^2 osv?  Spontant finns väl ingen formel men jag har en svag gissning att den åtminstone inte blir större, vi kan ju inte komma åt högre dimensioner än från början. Kan du ge en bättre förklaring?

LuMa07 tänkte sig nog att A^ku (för k=2,3,...) ligger i värderummet till A, eftersom att A^ku=A(A^k-1u). Därmed behöver du inte undersöka några andra värderum.