Linjärt beroende
Hej,
Hoppas alla har det fint i vårvädret!
Jag behöver hjälp med det här med linjärt beroende. Jag vet att följande stämmer:
1) ex. tre vektorer i rummet är linjärt beroende om man ställer upp dem i matrisform som kolonner och beräknar determinanten och denna blir 0 (så länge man har att göra med en kvadratisk matris när man ställer upp den, vilket i detta fallet blir 3x3-matris).
2) man kan även använda definitionen att om det finns tre tal a,b,c som multiplicerat med vektor u,v och w som så: a*u + b*v + c*w = 0 och där inte alla tal a,b,c är 0 så är vektorerna linjärt beroende.
Dock förstår jag inte hur man kollar att 2) stämmer, testar man sig fram eller hur gör man? Ställer man upp i matrisform även här? Hur då? Varför funkar det? Jag har kollat i min kursbok, här i forumet och har googlat en del, men jag kan inte få rätsida på det. Oftast står det bara definitionen, men inga exempel på tillämpningen.
Och det borde ju vara relativt enkelt att kolla linjärt beroende för endast två vektorer, men när jag försöker kolla för följande vektorer tycker jag att alla parvisa jämförelser av vektorerna indikerar att alla faktiskt är (parvist) linjärt oberoende: när jag multiplicerar olika värden med olika vektorer för att ex. få samma x-koordinat och y-koordinat, så får jag aldrig samma z-koordinat --> jag kan alltså inte skapa den andra vektorn från den ena. Dock vet jag via determinantberäkning att det finns linjärt beroende (determinanten blir 0) då alla tre vektorerna tas med:
u = (4,2,6), v = (12,6,20) och w= (2,1,4)
Det jag behöver hjälp med är följande:
- förståelse för hur man enklast tar reda på linjärt beroende när man som i ovanstånde fall med _två_ vektorer i taget inte kan beräkna determinanten (det blir ingen kvadratisk matris när man ställer upp den) hur ska jag tänka när jag ska välja ut två av u,v,w som är linjärt oberoende och _varför_ funkar det sättet? Jag tycker alla är parvist linjärt oberoende, men var tänker jag fel?
- Stämmer det att jag (om jag lyckas) tar ut två linjärt oberoende vektorer härifrån och jag vill bilda en bas för rummet så behöver jag alltså hitta en tredje linjärt _oberoende_ vektor. Hur kan jag då bestämma det på bästa sätt?
Tack för er hjälp!
MVH Josephine
2) kollar du genom att lösa ett ekvationssystem. Du kan göra det på matrisform om du vill.
I fallet då du har 3 vektorer i R3 så kan du tänka att två vektorer definierar ett plan (vi utgår från att vektorerba inte är parallella, för då är det ju redan klart att du har linjärt beroende). Om den tredje vektorn ligger i det planet så är de linjärt beroende.
Med ditt exempel
u = (4,2,6), v = (12,6,20) och w= (2,1,4)
så ska vi hitta a, b, c så att
a*u + b*v + c*w = 0
I komponentform ger det ekvationssystemet
4a + 12b + 2c = 0
2a + 6b +1c = 0
6a + 20b + 4c = 0
Lös med valfri metod.
Hej, precis, jag har koll på hur man ställer upp det hela för tre vektorer, men det är ju för två vektorer som jag behövde koll på. Nu har jag fått höra på annat ställe att man helt enkelt bara ställer upp a*u +b*v = 0 (eller korresponderande ekvation om man jämför u och w eller v och w)
Då får man ju alltid en rad som säger 0 = 0 (pga att dimensionen är i rummet), och för två av paren u&v samt u&w får jag enhetsmatrisen på vänster sida. Till skillnad från detta får jag vid jämförelse av v&w inte ut enhetsmatrisen. Innebär detta att det är just v och w som är linjärt oberoende?
Sedan (se fråga) måste jag sätta till en vektor för att det ska bilda en bas i planet, och då behöver jag väl sätta till en vektor som också är linjärt oberoende till dessa två v&w? Kan jag då ex. ta en vektor som är lik u, men som har en av koordinaterna +1 större eller liknande? Är det då linjärt oberoende? Eller hur ska man tänka?
