Linjärt beroende
Vektorerna u1,...,up kallas linj¨art beroende om n˚agon av dem ¨ar en linj¨arkombination av de andra. Om de inte ¨ar linj¨art beroende kallas de linj¨art oberoende.
Om vi tar (2,4), (-4,-2) så får vi ekvationssystemet:
2x-4y=2
4x-2y=4
som har lösningen x = 1, y = 0, och därför är den inte linjärt beroende.
Om vi tar (6,-3), (-4,2) så får vi ekvationssystemet :
6x-4y=6
-3x+2y=-3
Som inte har en lösning, och därför är den linjärt beroende
Är detta ett tillfredsställande svar? är det så man ska lösa sådanna uppgifter?
Another way i think i can show this, is if they lines has the same k-value?
I första uppgiften, k-value skiljer.
I andra uppgiften, så är k-value av båda linjerna den samma: 3/2
Kan jag visa linjärt oberoende på detta sätt också?
Om du bara har två vektorer så är de linjärt beroende om de pekar åt samma håll, d.v.s
u2 = k*u1
för någon nollskilld konstant k.
Ditt ekvationssystem betyder xu+yv=u och jag undrar varifrån du fått det. Linjärt beroende betyder att en linjärkombination är nollvektorn fastän inte alla koefficienterna är noll, alltså i ditt fall xu+yv=0 där inte x=y=0.
Henrik Eriksson skrev :Ditt ekvationssystem betyder xu+yv=u och jag undrar varifrån du fått det. Linjärt beroende betyder att en linjärkombination är nollvektorn fastän inte alla koefficienterna är noll, alltså i ditt fall xu+yv=0 där inte x=y=0.
Sorry men jag hänger inte riktigt med hur man ska visa. För om det ska blir nollvektorn så kan man ju sätta x och y som noll hela tiden? Skulle uppskatta om du kunde visa hur man löser eller skicka en video där någon visar...
dasdasdasdasdasd skrev :men jag hänger inte riktigt med hur man ska visa. För om det ska blir nollvektorn så kan man ju sätta x och y som noll hela tiden? Skulle uppskatta om du kunde visa hur man löser eller skicka en video där någon visar...
x = y = 0 är.en trivial lösning till ekvationen.
Om det dessutom finns någon annan lösning till ekvationen (där inte både x och y är lika med noll) så är vektorerna linjärt beroende.
Här kan du se ett exempel på hur man kan lösa ut det:
https://youtu.be/X84BzPED3eU
"fastän inte alla koefficienterna är noll" skrev jag. x(2,4)+y(-4,-2)=(0,0) har lösningen x=2, y=1. (Du tycks ha något räknefel där.)
EDIT: har bara lösningen x=y=0 ska det förstås stå.
I ditt tvådimensionella fall med endast två vektorer får du i första fallet ekvationssystemet
2x - 4y = 0
4x - 2y = 0
Vad har det ekvationssystemet för lösning?
I ditt andra fall får du ekvationssystemet
6x - 4y = 0
-3x + 2y = 0
Vad har det ekvationssystemet för lösning?
Ditt ekvationssystem stämde inte med definitionen, men ditt andra förslag/hypotes var OK. Linjär kombination av en vektor är denna vektor ggr ett tal. För exempel med matriser, googla på Gauss elimination eller Gaussian elimination (video). Det blir flera referenser.
Henrik Eriksson skrev :"fastän inte alla koefficienterna är noll" skrev jag. x(2,4)+y(-4,-2)=(0,0) har lösningen x=2, y=1. (Du tycks ha något räknefel där.)
Nej nu blev det nog lite fel. x=2, y=1 är inte en lösning till den ekvationen.
"Lite fel"? Det blev så fel det kan bli, men det är rättat nu.
Hej!
Vectors (2,4) and (-4,-2) are linearly dependent if there are non-zero numbers x and y such that linear combination x(2,4)+y(-4,-2) = (0,0). This is the same problem as finding numbers x and y such that x(1,2) + y(-2,-1) = (0,0). For this equation to hold we must have x = 2y and 2x = y, which implies that x = 4x. This shows that x=0 and y=0, but this is impossible since we required x and y to be non-zero numbers. The conclusion is therefore that vectors (2,4) and (-4,-2) are linearly independent.
Albiki
