Linjärkombinationer av vektorer och basbyten?

Har en knepig uppgift här och skulle uppskatta lite hjälp.

I triangeln ABC ligger punkten P på sidan BC så att 4|BP| = 3|PC|, och punkten Q på sidan AC så att 5|CQ|=|QA|. Skriv vektorerna AB och AC som linjärkombinationer av vektorerna AP och BQ.

Så här långt har jag kommit.

Jag resonerar att |BC| måste vara 6|PC| eller 8|BP|, och samma sak på andra sidan.

Jag har skrivit vektorerna som kombinationer av AQ och PC för att härifrån hitta linjärkombinationen av AP och BQ som ger AB och AC nu när allt är skrivet i samma bas, men jag kan inte se kombinationen direkt.

Har jag gjort rätt så här långt och finns det nått lättare sätt att finna linjärkombinationen som inte innebär att jag bara prövar mig fram?

All hjälp uppskattas.

Löste uppgiften, känner mig ganska dum nu men här är svaret:

Sen löser man AC på samma sätt.

Men $\vec{AB}=\frac{6}{5}\vec{AQ}-\frac{7}{4}\vec{PC}$

Det är något underligt med din AQ-PC-bas

Varför är $\vec{AC}=2\vec{AQ}$ ?

Sambandet är ju $\vec{AQ}=5\vec{QC}\$ ?

Detta tillsammans med $\vec{AQ}+\vec{QC}=\vec{AC} \Rightarrow \vec{AC}=\frac{6}{5}\vec{AQ}$

Sambandet är 5| $\underset{C Q}{\to}$ | = | $\underset{Q A}{\to}$ | betyder inte det att längden av 5 $\vec{C Q}$ är lika med längden av 1 $\vec{Q A}$ ? I så fall borde längden av hela sidan $\vec{A C}$ bli 2 $\vec{Q A}$ eller 10 $\vec{C Q}$ .

Mevve skrev :
Sambandet är 5| $\underset{C Q}{\to}$ | = | $\underset{Q A}{\to}$ | betyder inte det att längden av 5 $\vec{C Q}$ är lika med längden av 1 $\vec{Q A}$ ?

Ja, det är korrekt.

I så fall borde längden av hela sidan $\vec{A C}$ bli 2 $\vec{Q A}$ eller 10 $\vec{C Q}$ .

Nej. Jag förstår inte hur du kommer från $5\vec{QC}=\vec{AQ}$ till $\vec{AC}=2\vec{AQ}$

Om vi ställer oss i punkten A och går $\vec{AQ}$ hamnar vi i punkten Q, är du med på det?

Om vi befinner oss i Q och går $\vec{QC}$ hamnar vi i punkten C. Är du med på det?

Alltså ska $\vec{AQ}+\vec{QC}=\vec{AC}$ , det motsvarar att vi går från A till C, är du med på det?

Men vi vet också att $5\vec{QC}=\vec{AQ}$ , därför måste $\vec{AC}=\frac{6}{5}\vec{AQ}$

Jag förstår hur du tänker och du har nog rätt.

Är resten av uträckningen rätt?

Lösningsidén att uttrycka vektorerna i någon bas (t.ex. AQ PC som du valt, även om det finns smartare val) och sedan uttrycka de sökta vektorerna som linjärkombinationer är korrekt. Men jag tycker att du har slarvat med hur du tagit fram vektorerna, när man använder din bas $\{\vec{AQ}, \vec{PC}\}$ borde man få:

$\vec{AC}=(\frac{6}{5},0),\quad \vec{AB}=(\frac{6}{5},-\frac{7}{4})$

$\vec{AP}=(\frac{6}{5},-1),\quad \vec{BQ}=(-\frac{1}{5},\frac{7}{4})$

När du fått fram vektorerna kan du uttrycka "den nya basen" som kolonnvektorer i en transformationsmatris T, och sedan transformera vektorerna för AB och AC $\mathbf{x}'=T^{-1}\mathbf{x}$ . Vill du vara avancerad kan du ta fram en matris för de båda baserna med AQPC-basen som tredje bas (den gamla basens transformationsmatris inverteras då och multipliceras från höger av den nya primbasen).

Svara

Visa senaste svar