6 svar
153 visningar
Ralfs behöver inte mer hjälp
Ralfs 291
Postad: 10 maj 2023 19:48 Redigerad: 10 maj 2023 19:51

Linjärkombination och linjärt (o)beroende

Jag har väldigt svårt att förstå särskilda satser som berör linjärkombination och linjärt (o)beroende. 

Först, de två fundamentala definitioner som jag förstår:

UV om U=λV, dvs. U och V är parallella om det endast är en konstant λ som skiljer vektorerna,

denna sats begriper jag, en vektor är en kombination av längd och riktning, och konstanten lambda bidrar endast till längd. 

V är en linjärkombination av mängd godtyvkliga vektorer Up om V=λ1U1+...+λpUP,

detta begriper jag också, mängden vektorer U "bidrar" eller "bygger upp" vektorn P. 

 

Efter detta kommer dock min första förvirring, 

det visas många såna här exempel där det sägs att U1 och U2 spänner upp ett plan, intuitivt tycker jag inte att detta vekar rimligt eftersom de två vektorerna bidrar endast till två sidor av ett plan. För att förstå principen skapade jag istället min egen definition men jag vet inte om den är korrekt, jag tänkte:

"U1 och U2 spänner upp ett plan genom parallellförflyttning som gäller för vektoraddition"

Jag särskiljer alltså mellan "U1 och U2 spänner upp ett plan" ochAdditionen av U1 och U2 eller kombinationen av U1 och U2 spänner upp ett plan".

Jag vet inte om detta endast är en lingvistisk skillnad eller om mina resonemang är fel och den första propositionen faktiskt är korrekt. En annan anmärkning som jag tycker verkar rimlig är "Plan som spänns upp av mängd vektorer börjar i ett hörn och slutar i motsatt hörn" men enligt alla figurer är inte detta fallet. 

 

Det andra som jag inte begriper är konceptet linjärt beroende, 

Återigen till definitionerna: U1,..UP är linjärt beroende om någon av de kan skrivas som en linjärkombination av de övriga

dvs. om V=λ1U1+λ2U2 så är mängden av V,U1,U2 linjärt beroende, och självfallet kan ekvationen ändras så att alla vektorer i mängden kan visas vara en linjär kombination av de andra. Men det jag inte förstår är följden U1 och U2 är linjärtberoende  U1U2

Utifrån detta exempel från wikipedia, hur kan C1 och C2 på något vis vara parallella fastän de är linjärt beroende? 

Är iden att det finns sådana tal och b sådant att C1 och C2 blir parallella?

Laguna Online 30497
Postad: 10 maj 2023 19:51

På slutet, varför skulle c1 och c2 sägas vara parallella? De är dessutom inte vektorer, de är skalärer.

Ralfs 291
Postad: 10 maj 2023 19:53

Förlåt! Jag menade att och borde vara parallella om de är linjärt beroende. Jag förhastade mig och trodde skalärerna var beteckningen för vektorerna. 

Ralfs 291
Postad: 10 maj 2023 20:02

Jag kan ha tänkt fel, i denna delen av läseboken sägs det: om det för två vektorer gäller att någon av dem är en linjärkombination av den andra precis så de är parallella. 

Och enligt denna definition, säg att V=λ1U1+λ2U2mängden är ju linjärt beroende eftersom minst en av vektorerna, V, är en linjärkombination av de andra, borde inte detta leda till att alla vektorer är parallella? 

Laguna Online 30497
Postad: 10 maj 2023 20:18

Mängden {V, U1, U2} är linjärt beroende i så fall, ja, men U1 och U2 behöver inte vara linjärt beroende.

Om mängden bara består av {U1, U2} så är det sant att om U1 och U2 är linjärt beroende så är de parallella, och omvänt.

Ralfs 291
Postad: 10 maj 2023 20:31

hmm okej, så sambandet Linjärt beroende  parallellitet gäller bara för två vektorer?

Är det andra som jag skrev i mitt första inlägg korrekt? 

Tack snälla för hjälpen!

feber01 101
Postad: 10 maj 2023 22:31

Vi säger såhär att talen 4, 8 och 12 alla har faktorn 4 i sig. Vi kan litegrann säga att 4, 8 och 12 är beroende av faktorn 4. På samma sätt kan vi säga att en vektor v11u är beroende av vektorn u precis som att vektorn v22u också är beroende av u. Det betyder ju att v1||v2, v1||u och v2||u. För, u0 är en vektor som ju har en riktning, och både v1 och v2 har samma riktning som u. Så alla vektorer vppu är alltså både linjärt beroende av u samtidigt som de är parallella med u. Därför kan fler än två vektorer vara linjärt beroende, och fler än två vektorer kan också vara parallella med varandra. Därmed kan vi formulera oss såhär:

Två vektorer är linjärt beroende ⇔ vektorerna är parallella

Men det parallellitet behöver inte råda mellan endast två vektorer!

Förresten generaliseras definitionen av linjärt beroende/oberoende till alla vektorer. Så vektorerna u1,...,up där p≥2 är linjärt beroende om någon av dem är en linjärkombination av de övriga. Om någon av dem inte är en linjärkombination av de övriga så är de alltså inte linjärt beroende; de är linjärt oberoende.

Två vektorer som är linjärt oberoende kan vi säga bildar en bas i planet. Vi säger då också att de spänner upp ett plan. Det betyder att alla vektorer i planet som spänns upp av basvektorerna kan skrivas som en linjärkombination av dessa två vektorer. Kom nu ihåg att för en vektor u1u12u2 så kan det ju faktiskt vara så att till exempel λ1<0. Därför bildar basvektorerna ett plan och inte bara två sidor av ett plan. 

Svara
Close