Linjärkombination och linjärt (o)beroende

Jag har väldigt svårt att förstå särskilda satser som berör linjärkombination och linjärt (o)beroende.

Först, de två fundamentala definitioner som jag förstår:

$U ∥ V o m U = λ V, d v s . U o c h V ä r p a r a l l e l l a o m d e t e n d a s t ä r e n k o n s \tan t λ s o m s k i l j e r v e k t o r e r n a$ ,

denna sats begriper jag, en vektor är en kombination av längd och riktning, och konstanten lambda bidrar endast till längd.

$V ä r e n l i n j ä r k o m b i n a t i o n a v m ä n g d g o d t y v k l i g a v e k t o r e r U_{p} o m V = λ_{1} U_{1} + . . . + λ_{p} U_{P}$ ,

detta begriper jag också, mängden vektorer U "bidrar" eller "bygger upp" vektorn P.

Efter detta kommer dock min första förvirring,

det visas många såna här exempel där det sägs att $U_{1} o c h U_{2} s p ä n n e r u p p e t t p l a n$ , intuitivt tycker jag inte att detta vekar rimligt eftersom de två vektorerna bidrar endast till två sidor av ett plan. För att förstå principen skapade jag istället min egen definition men jag vet inte om den är korrekt, jag tänkte:

" $U_{1} o c h U_{2} s p ä n n e r u p p e t t p l a n g e n o m p a r a l l e l l f ö r f l y t t n i n g s o m g ä l l e r f ö r v e k t o r a d d i t i o n$ "

Jag särskiljer alltså mellan " $U_{1} o c h U_{2} s p ä n n e r u p p e t t p l a n$ " och $A d d i t i o n e n a v U_{1} o c h U_{2} e l l e r k o m b i n a t i o n e n a v U_{1} o c h U_{2} s p ä n n e r u p p e t t p l a n$ ".

Jag vet inte om detta endast är en lingvistisk skillnad eller om mina resonemang är fel och den första propositionen faktiskt är korrekt. En annan anmärkning som jag tycker verkar rimlig är "Plan som spänns upp av mängd vektorer börjar i ett hörn och slutar i motsatt hörn" men enligt alla figurer är inte detta fallet.

Det andra som jag inte begriper är konceptet linjärt beroende,

Återigen till definitionerna: $U_{1}, . . U_{P} ä r l i n j ä r t b e r o e n d e o m n å g o n a v d e k a n s k r i v a s s o m e n l i n j ä r k o m b i n a t i o n a v d e ö v r i g a$

dvs. om $V = λ_{1} U_{1} + λ_{2} U_{2} s å ä r m ä n g d e n a v V, U_{1}, U_{2} l i n j ä r t b e r o e n d e$ , och självfallet kan ekvationen ändras så att alla vektorer i mängden kan visas vara en linjär kombination av de andra. Men det jag inte förstår är följden $U_{1} o c h U_{2} ä r l i n j ä r t b e r o e n d e \Leftrightarrow U_{1} ∥ U_{2}$

Utifrån detta exempel från wikipedia, hur kan $C_{1} o c h C_{2}$ på något vis vara parallella fastän de är linjärt beroende?

Är iden att det finns sådana tal a och b sådant att $C_{1} o c h C_{2} b l i r p a r a l l e l l a ?$

På slutet, varför skulle c₁ och c₂ sägas vara parallella? De är dessutom inte vektorer, de är skalärer.

Förlåt! Jag menade att a och b borde vara parallella om de är linjärt beroende. Jag förhastade mig och trodde skalärerna var beteckningen för vektorerna.

Jag kan ha tänkt fel, i denna delen av läseboken sägs det: om det för två vektorer gäller att någon av dem är en linjärkombination av den andra precis så de är parallella.

Och enligt denna definition, säg att $V = λ_{1} U_{1} + λ_{2} U_{2}$ , mängden är ju linjärt beroende eftersom minst en av vektorerna, V, är en linjärkombination av de andra, borde inte detta leda till att alla vektorer är parallella?

Mängden {V, U₁, U₂} är linjärt beroende i så fall, ja, men U₁ och U₂ behöver inte vara linjärt beroende.

Om mängden bara består av {U₁, U₂} så är det sant att om U1 och U2 är linjärt beroende så är de parallella, och omvänt.

hmm okej, så sambandet $L i n j ä r t b e r o e n d e \Leftrightarrow p a r a l l e l l i t e t g ä l l e r b a r a f ö r t v å v e k t o r e r ?$

Är det andra som jag skrev i mitt första inlägg korrekt?

Tack snälla för hjälpen!

Vi säger såhär att talen 4, 8 och 12 alla har faktorn 4 i sig. Vi kan litegrann säga att 4, 8 och 12 är beroende av faktorn 4. På samma sätt kan vi säga att en vektor v₁=λ₁u är beroende av vektorn u precis som att vektorn v₂=λ₂u också är beroende av u. Det betyder ju att v₁||v₂, v₁||u och v₂||u. För, u≠0 är en vektor som ju har en riktning, och både v₁ och v₂ har samma riktning som u. Så alla vektorer v_p=λ_pu är alltså både linjärt beroende av u samtidigt som de är parallella med u. Därför kan fler än två vektorer vara linjärt beroende, och fler än två vektorer kan också vara parallella med varandra. Därmed kan vi formulera oss såhär:

Två vektorer är linjärt beroende ⇔ vektorerna är parallella

Men det parallellitet behöver inte råda mellan endast två vektorer!

Förresten generaliseras definitionen av linjärt beroende/oberoende till alla vektorer. Så vektorerna u₁,...,u_p där p≥2 är linjärt beroende om någon av dem är en linjärkombination av de övriga. Om någon av dem inte är en linjärkombination av de övriga så är de alltså inte linjärt beroende; de är linjärt oberoende.

Två vektorer som är linjärt oberoende kan vi säga bildar en bas i planet. Vi säger då också att de spänner upp ett plan. Det betyder att alla vektorer i planet som spänns upp av basvektorerna kan skrivas som en linjärkombination av dessa två vektorer. Kom nu ihåg att för en vektor u=λ₁u₁+λ₂u₂ så kan det ju faktiskt vara så att till exempel λ₁<0. Därför bildar basvektorerna ett plan och inte bara två sidor av ett plan.

Svara

Visa senaste svar