Linjäravbildning (viktig problem)

Neeeeej jag har postat en jättelång och viktig problem som precis kraschade.

Grejen är att jag har en liknande problem som inlämningsuppgift och min matte lärare håller säkert på att tänka att jag har en lost case, för att han förklarade ganska mycket utan att jag kan lösa skitet. Innan han tappar allt respekt han har för mig, hjääääälp pluggakuten!

Men men, den liknande problemet lyder:

Först o främst måste man titta på vad detta avbildning gör på enhetsvektorerna, sa han:

Så det bli:

$$\begin{gathered} F\left(1,0,0\right)=\left(1,0,0\right) + (1,1,1)\times \left(1,0,0\right)=(1,1,-1) \\ F\left(0,1,0\right)=\left(0,1,0\right) + (1,1,1)\times \left(0,1,0\right)=(-1,1,1) \\ F\left(0,0,1\right)=\left(0,0,1\right) + (1,1,1)\times \left(0,0,1\right)=(1,-1,1) \end{gathered}$$

Och detta är vår matris A:

$\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$

II. Justifiera varför, har jag inga koll på, förutom en vag idé att addition är kommutativ och borde inte förstöra den fina avbildningsharmonin.

III. Om $Av=u$ då borde nog $v=A^{-1}u$?

Jag har inverterat matrisen och slarvkontrollerat med wolfram alfa och hittar:

$\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$

När jag multiplicera den med vektor $u$ får jag: $\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{11}{2}\\ \frac{13}{2}\\ 8\end{array}\right)$

När jag multiplicerar detta korv med $\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$ får jag (7,4,9) så detta del måste vara rätt på nåt sätt, utan att jag vet om jag har multiplicerat den gamla/nya avbildningsmatris (???) med nya/gamla koordinater och varför jag gör det överhuvudtaket!

Som ni ser är situationen mycket dyster.