Linjäralgebra, sant/falskt

Låt A vara m x n. Im(A), dvs bilden av A, är då ett underrum till R^m. Det finns då en vektor v i Im(A) som har ett minimalt avstånd till vektorn b.

Eftersom v ligger i Im(A) så finns det åtminstone en vektor x₀ i Rⁿ sådan att sådan att Ax₀ = v.

Men då gäller det att lösningsmängden till Ax = v ges av x₀ + ker(A). Så x₀ är en unik lösning endast om ker(A) = {0}, dvs om kolonnerna i A är linjärt oberoende. Men om kolonnerna är linjärt beroende så finns det flera lösningar och, gissar jag, så betyder det att A^TA inte ens är en inverterbar matris. Så jag antar att man skall tänka att det är falskt för att det rent allmänt inte kan antagas att (A^TA)^-1 existerar. Men om man vet att denna matris är inverterbar så borde det väl vara sant. Så inte helt enkelt hur man skall tolka frågan.

PATENTERAMERA skrev:

Låt A vara m x n. Im(A), dvs bilden av A, är då ett underrum till R^m. Det finns då en vektor v i Im(A) som har ett minimalt avstånd till vektorn b.

Eftersom v ligger i Im(A) så finns det åtminstone en vektor x₀ i Rⁿ sådan att sådan att Ax₀ = v.

Men då gäller det att lösningsmängden till Ax = v ges av x₀ + ker(A). Så x₀ är en unik lösning endast om ker(A) = {0}, dvs om kolonnerna i A är linjärt oberoende. Men om kolonnerna är linjärt beroende så finns det flera lösningar och, gissar jag, så betyder det att A^TA inte ens är en inverterbar matris. Så jag antar att man skall tänka att det är falskt för att det rent allmänt inte kan antagas att (A^TA)^-1 existerar. Men om man vet att denna matris är inverterbar så borde det väl vara sant. Så inte helt enkelt hur man skall tolka frågan.

Hmm, ja exakt. Det måste vara om invers existerar eller inte, tänkte inte på det.