Linjära transformationer

Hej. Sitter och pluggar inför tenta och har fastnat på en uppgift som jag inte riktigt förstår mig på. Såhär lyder den:

If T: P1 -> P1 is a linear transformation such that T(1 + 2x) = 4 + 3x and T(5 + 9 x) = -2 - 4x, then T(4 - 3 x) =?

Jag började med att uttrycka 4 - 3x som en linjär kombination av dom andra polynomen =

c1(1+2x) + c2(5+9x) = 4-3x.

Sen gauss-eliminerade jag för att få fram: c1 = -42 and c2= 23. För att sen lösa ekvationen så fortsatte jag med: T(4-3x) = { T(-42)(1+2x) + 23(5+9x)}.

Men sen kommer jag inte längre. Hur ska jag fortsätta?

Hej!

Den linjära avbildningen $T$ kopplar ihop förstagradspolynom ( $p$ ) med förstagradspolynom ( $T(p)$ ). Som bas för vektorrummet $P_1$ väljer man vanligtvis polynomen $e_0(x) = 1$ och $e_1(x) = x$ så att

$p(x) = c_0e_0(x) + c_1e_1(x)$ och $T(p)(x) = c_0T(e_0)(x) + c_1T(e_1)(x);$

det gäller att ta reda på hur $T$ avbildar baspolynomen $e_0$ och $e_1$

De två polynomen $p_1 = e_0 + 2e_1$ och $p_2= 5e_0 + 9e_1$ låter dig uttrycka $e_0$ och $e_1$ .

$5p_1 - p_2 = e_1$ samt $e_0 = p_1 - 2(5p_1-p_2) = 2p_2 - 9p_1$

Du vet hur $T$ avbildar $p_1$ och $p_2$ , vilket låter dig bestämma hur $T$ avbildar $e_0$ och $e_1$ . Sedan kan du uttrycka polynomet $q = 4e_0 - 3e_1$ .

Albiki skrev:
Hej!
Den linjära avbildningen $T$ kopplar ihop förstagradspolynom ( $p$ ) med förstagradspolynom ( $T(p)$ ). Som bas för vektorrummet $P_1$ väljer man vanligtvis polynomen $e_0(x) = 1$ och $e_1(x) = x$ så att
$p(x) = c_0e_0(x) + c_1e_1(x)$ och $T(p)(x) = c_0T(e_0)(x) + c_1T(e_1)(x);$
det gäller att ta reda på hur $T$ avbildar baspolynomen $e_0$ och $e_1$
De två polynomen $p_1 = e_0 + 2e_1$ och $p_2= 5e_0 + 9e_1$ låter dig uttrycka $e_0$ och $e_1$ .
$5p_1 - p_2 = e_1$ samt $e_0 = p_1 - 2(5p_1-p_2) = 2p_2 - 9p_1$
Du vet hur $T$ avbildar $p_1$ och $p_2$ , vilket låter dig bestämma hur $T$ avbildar $e_0$ och $e_1$ . Sedan kan du uttrycka polynomet $q = 4e_0 - 3e_1$ .

Hej, tack för det snabba svaret. Jag uppskattar det verkligen! Problemet för mig är att jag har väldigt svårt att se hur dessa uppgifter ska lösas när det förklaras på ett mer abstrakt sätt. Borde det inte bara räcka att bara förenkla det som står inom parantesen? Jag hade märkte nu att jag hade fått fram fel värden på c1, och c2, så har ändrat det nu.

Edit: Lyckades lösa uppgiften till sist. Tack ändå.

Svara