Linjära ODE-system flervariabelanalys

Jag håller på att arbeta med linjära ODE-system och jag förstår inte riktigt hur man skissar lösningarna. 

Först om främst varför närmar sig kurvorna de där linjerna när t -> oändligheten osv? e^t när t går mot ändligheten blir väl noll? Skulle inte den delen av lösningarna försvinna då??

Jag är väldigt förvirrad över t, hur ska jag vet var t går i grafen? Eller väljer jag t.ex t = 1 och det ger ett x och y-värden som jag placerar ut? Och fler värden bildar då kurvor som alltså är lösningar till ekvationerna? Vår lärare pratar ibland om att "man kan säga att förut var t detta värde och då var det långt bort och sen ju närmare t blir, kommer gå t längs linjerna" eller något sånt. Jag antar att t är liksom en parametrisering (?) men allt går fortfarande inte ihop i mitt huvud.