Linjära ekvationssystem på nybörjarnivå

Hej!

Försöker lösa följande uppgift: 

Undersök om det inhomogena systemet $\left\{\begin{array}{l}ax+ y+2z=4 \left(1\right)\\ x+ y+ z=1 \left(2\right)\\ x+ay+2z=0 \left(3\right)\end{array}\right. \begin{array}{}\\ \\ \end{array}$

har mer än en lösning för något värde på konstanten a. Lös i förekommande fall systemet fullständigt.

Det jag först gjort är att ta bort x med gauss elimination från (2) och (3)

och fått$\left\{\begin{array}{l}ax+ y+2z=4 \left(1\right)\\ y+z(1-2a)=-3 (2")\\ y(1+a)-z(1-a^2)=1-a (3")\end{array}\right.$

Efter det försökte jag bryta bort y genom att addera in -(1+a)(2") i ekvation (3") och har då kommit fram till

$y(1+a)-y(1+a)-z(1-a^2)-z(1-2a)(1+a)=(1-a)+3(a+1)$

kan brytas ned till

$z=-\frac{2(2+a)}{a(1+a)}$

Därifrån försökte jag använda nollproduktmetoden för att få fram intressanta "a" värden varpå jag då får a=-2 men man ska även kunna få fram a=1 som ett värde där lösningar saknas. Jag får istället att a inte får vara 0 eller -1 vilket inte nämns alls i facit så mest troligt har jag gjort något knasigt i förenklingen.

Någon klok som kan hjälpa mig på travet var det blivit fel?