Linjär algebra -Linjära avbildnings uppgift

a definieras i texten - summan av basvektorerna.

 v är den vektor som avbildas. Jämför med när man skriver f(x); här har v samma funktion som x. Det är således en variabel vektor.

Krysset är nog tänkt att indikera kryssprodukten.

Du hittar matrisen genom att titta på hur F avbildar basvektorerna. Kolonn i hos matrisen är lika med koordinaterna (i vår bas) för vektorn F(e_i). 

PATENTERAMERA skrev:

a definieras i texten - summan av basvektorerna.

 v är den vektor som avbildas. Jämför med när man skriver f(x); här har v samma funktion som x. Det är således en variabel vektor.

Krysset är nog tänkt att indikera kryssprodukten.

Du hittar matrisen genom att titta på hur F avbildar basvektorerna. Kolonn i hos matrisen är lika med koordinaterna (i vår bas) för vektorn F(e_i). 

Så om v är såkallade vår x variabel så är alltså basvektorerna? Men då är f(e1)=(1 0 0)+( 1 0 0)×(1 1 1) osv? Jag antar att det är då vår matris A som vi får när man gjort klar den uträkningen 

Ja, fast det skall nog vara (1, 1, 1)  x (1, 0, 0), dvs omvänd ordning mot vad du skrev.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, fast det skall nog vara (1, 1, 1)  x (1, 0, 0), dvs omvänd ordning mot vad du skrev.

Yes då är jag med. Hur ska jag ta reda på den entydiga bestämda vektor v?

Visa först att matrisen M du tagit fram är inverterbar, tex att dess determinant är skild från noll. Då finns unik lösning till Mx = y för varje högerled y.

Alternativt kan du visa att ekvationen F(v) = 0 endast har lösningen v = 0. Det betyder att F är injektiv. Om en linjär operator på ett ändligdimensionellt vektorrum är injektiv så är den även surjektiv. Så F är bijektiv och därmed inverterbar. Ekvationen F(v) = u  har då unik lösning för varje val av u.

För att räkna fram v så kan du lösa matrisekvationen (M är den matris du räknat fram)

Mx = $\left[\begin{array}{c}6\\ 10\\ 6\end{array}\right]$.

x är kolonnvektor med koordinaterna för vektorn v.

PATENTERAMERA skrev:

Visa först att matrisen M du tagit fram är inverterbar, tex att dess determinant är skild från noll. Då finns unik lösning till Mx = y för varje högerled y.

Alternativt kan du visa att ekvationen F(v) = 0 endast har lösningen v = 0. Det betyder att F är injektiv. Om en linjär operator på ett ändligdimensionellt vektorrum är injektiv så är den även surjektiv. Så F är bijektiv och därmed inverterbar. Ekvationen F(v) = u  har då unik lösning för varje val av u.

För att räkna fram v så kan du lösa matrisekvationen (M är den matris du räknat fram)

Mx = $\left[\begin{array}{c}6\\ 10\\ 6\end{array}\right]$.

x är kolonnvektor med koordinaterna för vektorn v.

Jaha så vi ska alltså gauslimera för att hitta den vektor som har entydig lösning dvs lösa Ax=[ 6 10 6]?

Ja.

PATENTERAMERA skrev:

Ja.

Vad är fel på min lösning?

destiny99 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Ja.

Vad är fel på min lösning?

 

Edit: jag hittade ett fel och fick nu rätt.

Toppen.