Linjära avbildningar och spegling i plan

Välkommen till Pluggakuten!

Visa vad det är du har kommit fram till - det är enklare för oss att hjälpa dig då.

Jag försökte med ekvationer för linjen och normalen och krånglade till det för mig. Sedan ansatte jag en matris i stället och bestämde de fyra ekvationer som kommer av hur den avbildar egenvektorerna. Men hur man egentligen gör enklast vet jag inte.

Jag har tagit fram linjens normal och har sedan försökt projicera basvektorerna (1,0) och (0,1) på normalen men jag sitter fast/har gjort fel någonstans så nu vet jag ej hur jag ska gå vidare.

Med linjens normal menar du riktningsvektorn eller hur? Vad har du för riktningsvektor till linjen?

Det räcker inte att projicera basvektorerna på linjen, det ger dig en avbildning som projicerar hela planet på linjen. När du har projicerat basvektorerna på linjen behöver du gå lika långt i samma riktning för att komma till speglingen. Hur såg din uträkning ut för projektionen?

Om du har en normalvektor $\overrightarrow{n}$ till linjen så kan du dela upp varje element $\overrightarrow{x}$ i ${\mathrm{ℝ}}^2$ i en del som är parallell med normalen (första termen nedan) och en del som är vinkelrät mot normalen (dvs parallell med linjen, de två sista termerna nedan).

$\overrightarrow{x}$ = $\frac{\overrightarrow{n}\bullet \overrightarrow{x}}{{\left|\overrightarrow{n}\right|}^2}\overrightarrow{n}$ + $\overrightarrow{x}$ - $\frac{\overrightarrow{n}\bullet \overrightarrow{x}}{{\left|\overrightarrow{n}\right|}^2}\overrightarrow{n}$.

När du speglar i linjen byter du riktning på den del som är parallell med normalen och får därför följande formel för speglingen S

S($\overrightarrow{x}$) = $\overrightarrow{x}$ - 2$\frac{\overrightarrow{n}\bullet \overrightarrow{x}}{{\left|\overrightarrow{n}\right|}^2}\overrightarrow{n}$.

Du kan härleda en liknande formel om du istället utgår från en riktningsvektor till linjen. Övning till läsaren.

Du kan få fram matrisen [S] till S relativt standardbasen genom att titta på hur basvektorerna påverkas av S; kolumnerna i matrisen är utgörs av bilderna, under S, av basvektorerna i standardbasen.

Alternativt kan man få fram matrisen genom lite manipulationer av formeln ovan.

S($\overrightarrow{x}$) = $\overrightarrow{x}$ - 2$\frac{\overrightarrow{n}\bullet \overrightarrow{x}}{{\left|\overrightarrow{n}\right|}^2}\overrightarrow{n}$ = $\overrightarrow{x}$ - 2$\frac{{\overrightarrow{n}}^T\overrightarrow{x}}{{\left|\overrightarrow{n}\right|}^2}\overrightarrow{n}$ = $\overrightarrow{x}$ - 2$\frac{\overrightarrow{n}{\overrightarrow{n}}^T}{{\left|\overrightarrow{n}\right|}^2}\overrightarrow{x}$ = $\left(I-2\frac{\overrightarrow{n}{\overrightarrow{n}}^T}{{\left|\overrightarrow{n}\right|}^2}\right)\overrightarrow{x}$.

Från detta kan vi direkt identifiera matrisen [S] till S som

[S] = $I-2\frac{\overrightarrow{n}{\overrightarrow{n}}^T}{{\left|\overrightarrow{n}\right|}^2}$.

Lyckades lösa uppgiften tillslut :) Tack så mycket för alla svar!