Linjära avbildningar och spegling i plan
Hej! Sitter med en uppgift som lyder:
Bestäm matrisen för den linjära avbildningen som speglar planets punkter i linjen −4 x−7 y=0.
Jag har lite svårt att få ihop detta nu när det gäller två-dimensionella vektorer. En ledning till hur man löser uppgiften är Id-2nn^T, men jag vet inte vad d står för i detta fall. När det gäller tredimensionella vektorer kan man ju använda sig av kryssprodukt och ortogonal projektion, men vet inte hur jag ska lösa detta problem. Uppskattar all hjälp jag kan få!
Ta fram linjens normal.
Sedan kan du t.ex projicera en godtycklig vektor (x,y) på normalen. Vad får du?
Alternativt kan du istället projicera basvektorerna (1,0) och (0,1) på normalen och därifrån ta fram matrisen.
Jag kan inte tyda Id-2nn^T. Finns det någon bättre bild på uttrycket?
Man kan säkert göra något elegant, men varför inte ansätta 2x2-matrisen
a b
c d
och välj två punkter och spegla dem.
Har provat att projicera godtycklig vektor (x1, x2) på normalen och får då 1/65[16 28;28 49]. Vad gör jag efter detta?
Dr. G skrev:Ta fram linjens normal.
Sedan kan du t.ex projicera en godtycklig vektor (x,y) på normalen. Vad får du?
Alternativt kan du istället projicera basvektorerna (1,0) och (0,1) på normalen och därifrån ta fram matrisen.
Har provat att projicera godtycklig vektor (x1, x2) på normalen och får då 1/65[16 28;28 49]. Vad gör jag efter detta?
Om du drar bort projektionen två gånger från (x,y) så hamnar du i spegelbilden till (x,y).
Dr. G skrev:Om du drar bort projektionen två gånger från (x,y) så hamnar du i spegelbilden till (x,y).
Varför just två gånger? Hur skiljer sig detta från ett problem där du ska bestämma matrisen för den ortogonala projektionen på ett plan, då man endast drar bort projektionen av en godtycklig vektor på normalen en gång från enhetsmatrisen... Får inte riktigt ihop detta geometriskt i huvudet..
Om du drar bort projektionen på normalen en gång så hamnar du på linjen. Dra bort den en gång till så hamnar du på andra sidan linjen, men lika långt bort från linjen som (x,y).
Standardfråga 1a: har du ritat?
Rita upp ett koordinatsystem. Rita in spegellinjen. Rita in en godtycklig punkt. Spegla den i linjen. Vilka är den nya punktens koordinater?
Dr. G skrev:Om du drar bort projektionen på normalen en gång så hamnar du på linjen. Dra bort den en gång till så hamnar du på andra sidan linjen, men lika långt bort från linjen som (x,y).
Nu förstår jag! Tusen tack!!
