linjära avbildningar i ON-bas

a) Börja med att skriva ner villkoren för en ON-bas. Visa att (f1,f2,f3) uppfyller villkoren.

Så en ON-bas ska vara ortogonal och ha längd 1

Jag har kollat att alla har längd ett och det stämmer

dock får jag inte till att de är ortogonala då  $f_1 \times f_2=(0,0,-1)$ och inte (0,0,1) är det samma sak men att den på något sätt har blivit multiplicerad med -1?

hur fortsätter jag med b)?

$f\left(e_2\right)$ är väll $(f_1 , f_2 , f_3)$$(0,1,0)$?

För att de ska vara ortogonala ska skalärprodukten mellan alla par vara 0, du har kollat kryss/vektorprodukten. 

okej, så nu har jag kollat med skalärprodukten istället och den blev 0. 

Men varför kunde jag inte ta kryssprodukten och se att två vektorer blev den sista vektorn?

Skulle gissa att det beror på att du har en vänsterortonormerad bas och inte en högerortonormerad bas som det brukar vara. Nu får du den tredje fast spegelvänt. 

Hur kan jag sedan fortsätta med b)? :)

Finns en basbytesmatris man kan använda men har aldrig riktigt lärt mig den så jag brukar göra såhär:

e2 = x*f1 + y*f2 + z*f3      

och lösa ut x,y,z med gausselimination (HL kan skrivas om som en matris). Då blir x,y,z koordinater för e2 i basen f.