Linjära avbildningar bestämma N(T) & R(T)

$$\begin{gathered} A=-C-E+F \\ C\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+E\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)+F\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right) \\ JAG F\AA R ATT \\ \left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right) \end{gathered}$$

Du kan räkna ut hur många matriser du behöver för en bas genom att räkna ut dimensionen på N(T).

dim(M_2,3(R)) = 6 = dim(R(T)) + dim(N(T)). Så dim(N(T)) = 6 - dim(R(T)) = 6 - 1 = 5.

Så din bas skall ha 5 matriser. Något har gått fel.

jaa, jag tänkte också det, men hittar ej felet. vart har jag gjort fel?

Vad händer med B och D?

ja just det, dem är ju två nollmatriser

tv

---

förkortning

tv, tv-apparat, television

Nja. B och D påverkar inte värdet på T(A). Dvs vi kan välja B och D helt godtyckligt när vi bestämmer N(T).

Så alla matriser i N(T) kan skrivas på formen.

$\left[\begin{array}{ccc}F-C-E& B& C\\ D& E& F\end{array}\right]=B\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]+C\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]+D\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]+E\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]+F\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$,

där B, C, D, E och F kan väljas godtyckligt. De fem matriserna i HL spänner således upp N(T) och utgör därför en bas för N(T), eftersom vi vet att dim(N(T)) = 5.

jahha okej jag fattar.

Hur vet man att dim(R(T))=1 är det för att den linjära avbildningen går mot R?

Ja, R har ju dimensionen 1, och R(T), då T är linjär, är ett underrum till R. Det finns då endast två möjligheter: R(T) är hela R eller R(T) = {0}. Då det finns matriser A sådana att T(A) $\ne$ 0, så måste R(T) vara hela R. Således: dim(R(T)) = dim(R) = 1.

okej tack