Linjära avbildningar, avbildningsmatris för en projektion
Har följande uppgift: Bestäm en avbildningsmatris för den linjära avbildningen som projicerar rummets vektorer på planet 2x-y-z=4
Jag har gjort ett försök att lösa uppgiften enligt bifogade bilder nedan. Är jag helt ute och cyklar? Får inte alls samma svar som det står i facit. Dessutom blir ju svaren olika beroende på vilka vektorer jag väljer som A och B. Uppfattar dock det som att det ska finnas ett unikt svar på denna uppgift. Tacksam för lite hjälp!
Tyvärr förstår jag inte riktigt vad du gör, hoppas någon annan kan hjälpa till med det. Å andra sidan skulle jag ha löst uppgiften lite annorlunda. Eftersom att dina vektorer A och B är linjärt oberoende, och att din normalvektor inte ligger i span{A,B} (varför? motivera gärna), så innebär det att vi kan välja en ny bas: nämligen span{A,B,n}. Applicera nu din transformation på denna bas, vad händer med vektorerna? Gör sedan ett basbyte till standardbasen och på så sätt få fram din transformation i standardbasen.
Det blir inte en linjär avbildning eftersom origo inte avbildas på origo. Det finns därmed ingen matris som fullgott beskriver avbildningen.
Du får först projicera på planet
2x - y - z = 0
(linjär avbildning)
och sedan lägga till en konstant vektor som tar dig från planet 2x - y - z = 0 till planet 2x - y - z = 4.
(Då det gällde vektorer och inte punkter så spelar det ingen roll om planet är 2x - y - z = 0 eller 2x - y - z = 4.)
Jag skulle projicera de tre basvektorerna på normalen och ta fram matrisen för den projektionen. Matrisen för den sökta projektionen är sedan identitetsmatrisen minus projektionen på normalen (eftersom normalen är otrogonalt komplement till vektorerna som spänner planet).
Tusen tack för svar! Ursäkta lite sen återkoppling, ska testa era tips.
