Linjära avbildningar

Hej!

Studera spegling (S) i linjen separat.

Den avbildning som du kallar T är inte samma som den avbildning som uppgiftstexten handlar om; uppgiftstexten handlar om den sammansatta avbildningen $S\circ T$ -- först appliceras T sedan appliceras S. 

För att bestämma matrisen för speglingen S studerar du hur den verkar på basvektorerna (på samma sätt som när du bestämde matrisen för T). 

Determinanten för den sammansatta avbildningen blir sedan produkten av de enskilda avbildningarnas  determinanter

    $\det(S\circ T) = \det(S)\cdot\det(T).$

Albiki skrev :

För att bestämma matrisen för speglingen S studerar du hur den verkar på basvektorerna (på samma sätt som när du bestämde matrisen för T). 

 

Precis, borde inte (-x-)^T och (-z-)^T byta plats?

dajamanté skrev :

Albiki skrev :

För att bestämma matrisen för speglingen S studerar du hur den verkar på basvektorerna (på samma sätt som när du bestämde matrisen för T). 

 

Precis, borde inte (-x-)^T och (-z-)^T byta plats?

Jag förstår inte vad du skrivit; minus z minus, upphöjt till avbildningen T, eller upphöjt till matrisen T?

Förlåt, jag försök simulera en kolon.

Jag menade egentligen att eftersom det är en spegling i x=z linjen, kolonnen x och kolonnen z måste byta plats, alltså att:

$\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\\ z_3\end{array}\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$

Hur avbildas basvektorn (1,0,0) av speglingen S? Det är spegling i PLANET x=z och inte linjen x=z som du skrivit.

Albiki skrev :

Hur avbildas basvektorn (1,0,0) av speglingen S? Det är spegling i PLANET x=z och inte linjen x=z som du skrivit.

Oj, hoppsan, det är en helt annat handskarpar.

Isåfall, om F(1,0,0) är min projektion, söker vi F(1,0,0) - normalen av planet?

Normalen $x=z \to (1,0,-1)$

Projektionen blir:

$$\begin{gathered} \frac{F\left(e_1\right)\bullet \left(1,0,-1\right)}{{\left|1,0,-1\right|}^2}\left(1,0,-1\right)=\frac{{\displaystyle \left(1,0,0\right)\bullet \left(1,0,-1\right)}}{{\displaystyle {\left|1,0,-1\right|}^2}}\left(1,0,-1\right) \\ =\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\left(1,0,-1\right) \end{gathered}$$

stämmer det?

$$\begin{gathered} \frac{F\left(e_2\right)\bullet \left(1,0,-1\right)}{{\left|1,0,-1\right|}^2}\left(1,0,-1\right)=\frac{{\displaystyle \left(0,1,0\right)\bullet \left(1,0,-1\right)}}{{\displaystyle {\left|1,0,-1\right|}^2}}\left(1,0,-1\right) \\ =0 \end{gathered}$$

och 

$$\begin{gathered} \frac{F\left(e3\right)\bullet \left(1,0,-1\right)}{{\left|1,0,-1\right|}^2}\left(1,0,-1\right)=\frac{{\displaystyle \left(0,0,1\right)\bullet \left(1,0,-1\right)}}{{\displaystyle {\left|1,0,-1\right|}^2}}\left(1,0,-1\right) \\ =-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\left(1,0,-1\right) \end{gathered}$$

Blir min matris:

$\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$?

Edit: jag har försökt gå vidare och multiplicera $S_{0}S$ och $S{S}_0$ eftersom jag vet aldrig i vilket order matriser måste multipliceras:

Jag får matrisen $\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right)$ och $\left(\begin{array}{ccc}-1& 7& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& -7& -1\end{array}\right)$. Tyvärr båda matriser blir fel...

Det här plussar jag upp också, tyvärr har jag inte löst den...

Jag har löst den, determinanten var faktiskt noll. Jag är så ovan att hitta rätt att jag blev lite för förvånad. 

Men det hade något att göra med att den första projektion var mot en vektorprodukt, dvs något som ligger ortogonalt, så avbildningen blev inte linjärt.

Om någon orkar förklara jag tar det gärna 😏