Linjära avbildningar

Hej Daja!

Vad är egentligen din fråga?

Vill du veta varför matrisen R roterar en punkt (x,y) kring origo med en vinkel theta?

Hej!

Jag vill se en exempel om hur det funkar algebraisk.

Språkpolisen meddelar: Det heter ett exempel, och därför blir det algebraiskt på slutet.

EDIT: Det är inte alls därför, det är för att ordet algebraiskt syftar på ordet "funkar", d v s på ett verb, så algebraiskt är ett adverb, och då slutar det med t.

Edit: skrev nåt dumt som svar till Smaragdalena :). Jag står inte för det som hon brukar göra!

Till Dr.: jag menar, rotera mig nånting, vad som helst med matrisen R.

Hej Daja,

Här får du en roterad kvadrat:

Kvadraten roteras 60 grader moturs runt origo. Det ger rotationsmatrisen

$R=\begin{bmatrix}\cos 60^{\circ}& -\sin60^{\circ}\\ \sin 60^{\circ} & \cos 60^{\circ}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt3}{2}\\ \frac{\sqrt3}{2} & \frac{1}{2}\end{bmatrix}$

Kan du nu ta fram de nya koordinaterna för den roterade kvadraten? Var hamnar t.ex. den gamla punkten (3,3)?

Tack för förklaring och schema!! Jag ska behandla denna kvadrat så fort Leia är i säkerhet imorgon bitti!

Tackar en gång till, för din Latex också!

Om jag skriver $(3,3)$ som en kolon vektor och multiplicerar det med matrisen $R$:

$(3,3)\begin{bmatrix}\frac12&-\frac{\sqrt3}2\\\frac{\sqrt3}2&\frac12\end{bmatrix}$

$=\frac{3(1+\sqrt3)}2,\frac{-3(1-\sqrt3)}2$

Edit: En hemsk tvivel har gripit mitt själ och har gjort det att stelna:

Är det:

$(3,3)\begin{bmatrix}\frac12&-\frac{\sqrt3}2\\\frac{\sqrt3}2&\frac12\end{bmatrix}$ eller

$\begin{bmatrix}\frac12&-\frac{\sqrt3}2\\\frac{\sqrt3}2&\frac12\end{bmatrix} (3,3)$

dajamanté skrev :

 

Edit: En hemsk tvivel har gripit mitt själ och har gjort det att stelna:

Är det:

$(3,3)\begin{bmatrix}\frac12&-\frac{\sqrt3}2\\\frac{\sqrt3}2&\frac12\end{bmatrix}$ eller

$\begin{bmatrix}\frac12&-\frac{\sqrt3}2\\\frac{\sqrt3}2&\frac12\end{bmatrix} (3,3)$

Det ska vara det sistnämnda. Alltså hamnar (3,3)

$\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=R\begin{bmatrix}3\\3\end{bmatrix}\approx\begin{bmatrix}-1.098\\4.098\end{bmatrix}$

Svaret ser ut att stämma med den jättefina figuren, eller hur? Som övning kan du beräkna rotationen av punkten (1,3) och jämföra med facit och figuren.

Jag har för mig att R är en av babybytesmatriserna du räknat med tidigare under kursen? R är en linjär avbildning $R:\ \mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2$

Låt $\mathbf{v}=x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2,\quad \mathbf{v}\in \mathbf{R}^2$, utnyttja att den linjära avildningen är, ehrhm, linjär:

$R(\mathbf{v})=x_1R(\mathbf{e}_1)+x_2R(\mathbf{e}_2)$

R är alltså entydigt bestämd av hur basvektorerna ${\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2}$ avbildas $\{R(\mathbf{e}_1),R(\mathbf{e}_2)\}$

Genom att studera var enhetsvektorerna $\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}$ hamnar efter rotationen kan du bestämma R. Rs kolonner består av de roterade enhetsvektorerna, dvs Rs kolonner utgörs av den nya basen uttryckt i den gamla.

Hej!

För att två matriser ska kunna multipliceras måste deras typer matcha. Om matrisen $A$ har $2$ rader och $3$ kolonner så är den av typ $2 \times 3$. Om matrisen $B$ har $3$ rader och $4$ kolonner så är den av typ $3 \times 4.$ Matrisprodukten $AB$ är meningsfull eftersom typerna matchar:

    $\displaystyle (2\times 3)(3\times 4) = 2 \times 4.$

Matrisprodukten $BA$ är inte definierad eftersom typerna inte matchar:

    $\displaystyle (3\times 4)(2\times 3).$

Albiki

En matris ($v$) av typ $2\times 1$ kan bara multipliceras med en matris ($R$) av typ $2\times 2$ på ett sätt ($Rv$) och ger då en matris av typ $(2\times 2)(2\times 1) = 2\times 1.$

@Albiki:

Såklart. Man glömmer sina baser så fort det kommer något nytt och exotisk...

Varför avläses funktioner från höger till vänster i matrismultiplikation?

@Guggle: den här bebis hade jag kasserat från minnen för att vi fick höra från vår trött och irriterad lärare att det behövdes inte (just nu). Nu har jag hittat den. Tror att jag har varit fokuserat på den algebraiska del, utan att visualisera rotationen själv! Jag ser på din fin figur att kvadraten har roterat 60° bakåt. Så engentligen den första sidan lutas bakåt med 60 grader, och den andra sidan lutas bakåt med 150° för att behålla en 90° vinkel mellan båda sidor?

Edit: Jag har försökt att praktisera med det. Jag har skaffat en matris M och vektorer u och w. Vet ni hur man bygger objekt i Geogebra som går att modifieras med matrisen?

dajamanté målade:

 Ja, exakt så, mycket bra bild! Kanske kan du komplettera med en vinkelangivelse $\theta$. Av bilden framgår att $T(\mathbf{e}_1)=\cos \theta\mathbf{e}_1+\sin\theta\mathbf{e}_2$ samt $T(\mathbf{e}_2)=-\sin \theta\mathbf{e}_1+\cos\theta\mathbf{e}_2$.

Så engentligen den första sidan lutas bakåt med 60 grader, och den andra sidan lutas bakåt med 150° för att behålla en 90° vinkel mellan båda sidor?

Ja, vinkeln bibehålls, men jag skulle kanske inte riktigt hålla med om att någon sida roteras 150°?  Denna babybytesmatris (rotationsmatrisen) är ett exempel på en ortogonal matris. En sådan matris ändrar inte vektorers längder och avbildar ortogonala vektorer på ortogonala vektorer.

Edit: Jag har försökt att praktisera med det. Jag har skaffat en matris M och vektorer u och w. Vet ni hur man bygger objekt i Geogebra som går att modifieras med matrisen?

Återigen mycket bra! Är lite osäker på om jag förstår din fråga, men kanske undrar du hur man använder en slider? Jag la till en slider (efter att jag klurat ut hur man registrerar en användare) så du kan dra i reglaget och rotera godtycklig vinkel, alternativt animera genom att klicka på "play"-knappen här

Edit: Kanske undrade du bara hur man multiplicerar en matris med en vektor i Geobra? A*{{1},{2}} ger dig rotationen av 1,2

Guggle skrev :

dajamanté målade:

Jag är mycket rörd. Väldigt få uppskattar min konst!

Återigen mycket bra! Är lite osäker på om jag förstår din fråga, men kanske undrar du hur man använder en slider? Jag la till en slider (efter att jag klurat ut hur man registrerar en användare) så du kan dra i reglaget och rotera godtycklig vinkel, alternativt animera genom att klicka på "play"-knappen här

Edit: Kanske undrade du bara hur man multiplicerar en matris med en vektor i Geobra? A*{{1},{2}} ger dig rotationen av 1,2

Snyggt slider!

Jag menade hur kan man skapa en objekt som man kan ankra till en matris, och se hur den modifieras när man förändrar matrisvektorer :)?