Linjära avbildningar

Det du skriver med sammansatt funktion handlar ju om att man tar sitt tal, stoppar in i bakre funktionen först och sen det svaret i nästa. Med linjära avbildningar brukar "stoppa in i funktion" betyda "ställ din vektor bakom matrisen och gångra ihop". Om du gör det med först matris A och sen matris B så får du B(Av) =(BA)v, så det blir samma sak som att direkt använda BA, därför har de gångrat ihop.

När du bygger en matris vill du ha så att första kolonnen berättar vart (1,0) hamnar och andra berättar vart (0,1) hamnar. Om du bara roterar kommer båda fortsätta ligga på enhetscirkeln så det är enklast att beskriva med sin och cos för att bara kunna ändra vinkeln.

Jag tror att du ska först rotera enhetsvektorerna pi/6 radianer moturs och sedan ska du spegla dem i x-axeln.

Om du har en linjär avbildning F från R² till R² så finns det en unik matris M_F sådan att

F(x) = M_Fx, för alla vektorer x i R². Dvs du kan utvärdera avbildningen medelst en matrismultiplikation.

Matrisens i:te kolumn ges av F(e_i), i = 1, 2.

Där

e₁ = $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$, e₂ = $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$.

Om du har en sammansatt avbildning S$\circ$R så ges dess matris genom multiplikation av de ingående avbildningarnas matriser, dvs

$M_{S\circ R}=M_S{M}_R$.

Tänk dig att du har en linjär avbildning R som roterar varje vektor i R² med en vinkel v. Om man ritar och tänker lite så inser man att

R(e₁) = $\left[\begin{array}{c}\cos v\\ \sin v\end{array}\right]$, R(e₂) = $\left[\begin{array}{c}-\sin v\\ \cos v\end{array}\right]$, vilket innebär att

M_R = $\left[\begin{array}{cc}\cos v& -\sin v\\ \sin v& \cos v\end{array}\right]$.

Om man har en linjär avbildning S som speglar i x1-axeln så har vi

S(e₁) = $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$, S(e₂) = $\left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]$, och såldes

M_S = $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$.

S(e₁) = $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$, S(e₂) = $\left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]$, och såldes

M_S = $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$.

Jag har lite svårt att greppa varför  e2 blir (0,-1). Varför blir isåfall inte e1 också det, om de båda speglas i x? När jag ritar ser jag inte hur dessa skiljer sig i tecken