Linjär transformering

Det finns två olika angreppssätt:

1. Försök skriva -4-3x som en linjärkombination av 1+5x och 4+19x. Det är en mer direkt approach.

2. Använd dig av de givna transformationerna för att hitta T(1) och T(x). Exempel för T(x):

$$\begin{gathered} T\left(x\right)=T\left(4\right(1+5x)-(4+19x\left)\right)= \\ 4·T(1+5x)-T(4+19x)=4(1-4x)-(-2-2x)=6-14x \end{gathered}$$

T(1) får du lista ut själv. :)

Jag hänger inte med riktigt...

Hur kom du fram till att   T(x)=T(4(1+5x)−(4+19x))   ?

Förenkla uttrycket 4(1+5x)-(4+19x).

Hur man får fram det? Man ser att $4\cdot1=4$ och att $4\cdot5x=20x$.

Jag kom fram till det eftersom $4(1+5x)-(4+19x)=4+20x-4-19x=x$. Eftersom det är en linjär transformation går det alldeles utmärkt att göra så. 

Ett annat sätt att se på det är att skriva om enligt:

$T(1+5x)=1-4x\Rightarrow T(1)+5T(x)=1-4x$

$T(4+19x)=-2-2x\Rightarrow4T(1)+19T(x)=-2-2x$

vilket är ett ekvationssystem med $T(1)$ och $T(x)$ som variabler. När man väl löst ut för dem har man basen för transformationen och då är det en smal sak att bestämma $T(-4-3x)$.

Fast det känns mer som att man har tur om man ser nån siffra som tar ut nån annan.

Jag kan tex inte alls se hur jag skulle få fram T(1). Då skulle jag i så fall hitta på en formel där 19x på något sätt kan försvinna helt genom att ta plus eller minus nånting med 5x?

Finns det inget sätt att räkna sig fram till det?

Till exempel genom att Gaus-eliminera eller liknande? 

Jag skulle testa om det blir nånting bra om man multiplicerar (1+5x) med 19 och (4+19x) med 5 och sedan adderar eller subtraherar de båda svaren (har inte kollat om det hjälper).

Du kan försöka hitta en linjärkombination som ger dig $-4-3x$ direkt:

$$\begin{gathered} s·T(1+5x)+t·T(4+19x)=s(1+5x)+t(4+19x)=-4-3x \\ s+s·5x+4t+t·19x=x(5s+19t)+(s+4t)=-4-3x \end{gathered}$$

Därifrån kan du lösa ut att 

$\left\{\begin{array}{l}5s+19t=-3\\ s+4t=-4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=-17\\ s=64\end{array}\right.$

Sätt in s och t, och du har ett svar. 

Om du redan bestämt T(x) är T(1) bara en subtraktion bort.

Den enda lösning jag tror att jag eventuellt skulle kunna förstå är AlvinB.

Fast jag förstår inte där heller hur man "löser ut" T(x) och T(1).

Jag testade att sätta T(x) som a , T(1) som  b och x som c. Men jag kommer ingenstans. Det är för många okända. 

$x$ behöver du inte lösa ut för, det är ju det du uttrycker vektorerna i.

Kalla $T(1)$ för $a$ och $T(x)$ för $b$. Då får du ekvationssystemet:

$\{\begin{matrix}a+5b=1-4x\\4a+19b=-2-2x\end{matrix}$

Ur den första ekvationen ser vi snabbt att $a=1-4x-5b$. Sätter vi in det i den andra ekvationen får vi:

$4(1-4x-5b)+19b=-2-2x$

$4-16x-20b+19b=-2-2x$

$4-16x-b=-2-2x$

$4-16x=-2-2x+b$

$b=4-16x+2+2x$

$b=6-14x$

och

$a=1-4x-5b=1-4x-5(6-14x)=1-4x-30+70x=66x-29$

Alltså vet du att:

$\{\begin{matrix}T(1)=66x-29\\T(x)=6-14x\end{matrix}$

Vad blir då $T(-4-3x)$?

Jaha, äntligen!  Tack.

Linjär algebra är verkligen aldrig enkelt... 

Jag läser på distans och saknar VERKLIGEN att träffa en "riktig" lärare i verkliga livet!

Tack så mycket för all hjälp.