Linjär transformation

Man kan börja med att tänka att T är en funktion från n variabler till m variabler, vilken som helst. T.ex. $n=2$ och $m=1$ då kan vi ha till exempel $T(x_1,x_2) = x_1 \cdot x_2$. Men detta kan inte representeras av en matris eftersom T inte är linjär. Om vi nu tar ett exempel på en linjär funktion $T(x_1,x_2) = 2x_1+x_2$ så kan man skriva det som $Ax = (2, 1)(x_1, x_2)^{T}$.

T (som kan identifieras med matrisen A) är funktionen, x är en vektor i $R^n$.

${\mathrm{ℝ}}^n$ är rummet av kolumnvektorer med n reella komponenter, dvs av typen

$\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]$

${\mathrm{ℝ}}^m$ är på liknande sätt rummet av kolumnvektorer med m reella komponenter, dvs av typen

$\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_m\end{array}\right]$

$\overrightarrow{x}$:et står här för en vektorvariabel. Dvs i detta fall så är $\overrightarrow{x}$ en vektor i ${\mathrm{ℝ}}^n$ och $T\left(\overrightarrow{x}\right)$ (bilden av $\overrightarrow{x}$ under T) är en vektor i ${\mathrm{ℝ}}^m$.

$T\left(\overrightarrow{x}\right)$ = A$\overrightarrow{x}$ betyder att man alltid kan hitta en (unik) matris A så att, för varje val av vektorn $\overrightarrow{x}$, man kan beräkna $T\left(\overrightarrow{x}\right)$ genom att matrismultiplicera A med kolumnvektorn $\overrightarrow{x}$.