Linjär regression: Visa att sum(yihat*eihat)= 0

Med beteckningarna

$y_{i} = \hat{B_{0}} + \hat{B_{1}} x_{1} + \hat{e_{i}} \hat{y_{1}} = \hat{B_{0}} + \hat{B_{1}} x_{1}$

Visa att $\sum_{i = 1}^{n} ŷ_{i} ê_{i} = 0$

Detta skrev jag om till $\sum_{i = 1}^{n} ŷ_{i} ê_{i} = \sum_{i}^{n} ŷ_{i} (y_{i} - ŷ_{i}) = \sum_{i}^{n} ŷ_{i} y_{i} - \sum_{i}^{n} {ŷ_{i}}^{2}$

Vet inte hur jag ska gå vidare härifrån.

Har en ledning som säger att man ska utnyttja normalekvationerna.

OBS! Fel i rubriken. Ska naturligtvis stå "Visa att sum(yihat*eihat)=0".

Fixat! /Smutstvätt, moderator

borde det inte vara $\hat{y_{i}}$ vid första ekvationen också? Indikerar "hat" att det är en vektor i uppgiften?

VoXx skrev:
borde det inte vara $\hat{y_{i}}$ vid första ekvationen också? Indikerar "hat" att det är en vektor i uppgiften?

Nej. Första ekvationen är rätt.

Hat indikerar endast att det är en uppskattning av det sanna värdet där feltermen ei bortses från.

Hej!

Summan kan skrivas med vektornotation som

$(\hat{e})^{t}\hat{y}$

där vektorerna $\hat{e}$ och $\hat{y}$ båda är av typ $n\times 1$ . Sedan är

$\hat{e} = y-\hat{y} = y-Hy = (I-H)y$

där $H$ betecknar den symmetriska hatt-matrisen och $I$ betecknar enhetsmatrisen, båda av typ $n\times n$

och summan kan skrivas

$y^{t}(I-H)^{t}Hy = y^{t}(H-H^2)y.$

Vad kan du säga om matrisen $H-H^2$ ?

Albiki skrev:
TEXT

Är tacksam för lösningsförslaget, Albiki. Matriser är emellertid nästa kapitel.

Meningen här var att man skulle utnyttja normalekvationerna

$\sum_{i = 1}^{n} y_{i} = b_{0} n + b_{1} \sum_{1}^{n} x_{i} \sum_{i = 1}^{n} x_{1} y_{1} = b_{0} \sum_{1}^{n} x_{i} + b_{1} \sum_{1}^{n} {x^{2}}_{i}$

Navid skrev:
Albiki skrev:
TEXT
Är tacksam för lösningsförslaget, Albiki. Matriser är emellertid nästa kapitel.
Meningen här var att man skulle utnyttja normalekvationerna
$\sum_{i = 1}^{n} y_{i} = b_{0} n + b_{1} \sum_{1}^{n} x_{i} \sum_{i = 1}^{n} x_{1} y_{1} = b_{0} \sum_{1}^{n} x_{i} + b_{1} \sum_{1}^{n} {x^{2}}_{i}$

Skriv ut matrismultiplikationerna i mitt inlägg som summor då, om matrismultiplikation är totalt och absolut förbjudet att använda nu; för övrigt är normalekvationerna inbakade i hatt-matrisen H.

Svara

Visa senaste svar