Linjär optimering, förstår inte alls

sophiasophia skrev:

Hej! 

Var ett tag sedan jag gjorde matte 2 och nu stöter jag antagligen på lite problem i hjärnan på grund av detta, har gått igenom och känner mig trygg i ekvationer men har nu stött ihop med linjär optimering och har frågan: 

Kalle har öppnat en affär som säljer barnvagnar. Han har ett startkapital på 416 000 kr som kan användas för köp av två sorters barnvagnar. Modell A har en inköpskostnad på 2400 och en vinst vid försäljning på 1000 kr. Modell B har en inköpskostnad på 4000 kr med vinsten 1200 kr. Utrymmet i affären tillåter att man högst köper in 150 barnvagnar. Vilken är den största vinst man kan göra med det disponibla inköpsbeloppet?

Jag förstår så långt att jag måste göra modell A till x och modell B till y för att kunna ställa upp en ekvation, men sedan är det tomt i huvudet på mig. Någon som kan hjälpa mig med hur jag ska räkna ut detta? 

Vill absolut inte ha ett svar utan enbart guidening i hur jag tar mig till svaret själv. 

Tack på förhand! 

Bra början!

Fortsätt så här:

Tänk dig att Kalle köper x barnvagnar av modell A och y barnvagnar av modell B, där $x\geq 0$ och $y\geq 0$.

Nu får du några tips steg-för-steg:

Superfina tips, mitt problem är att jag inte riktigt vet hur jag ska ställa upp en sådan här ekvation, för att förtydliga studerar jag på distans och har knappt läst/sett någonting om linjär optimering.  Jag vet helt enkelt inte riktigt hur jag ska ställa upp ekvationen, vart jag börjar. 

Ska jag börja med inköpskostnaderna? Ställa upp mot ytan eller mot vinst? 

Som du märker är jag lite ute på vift här, brukar förstå det mesta men här känner jag mig lost! :) 

Väldigt tacksam för hjälpen. Tack!

sophiasophia skrev:

Superfina tips, mitt problem är att jag inte riktigt vet hur jag ska ställa upp en sådan här ekvation, för att förtydliga studerar jag på distans och har knappt läst/sett någonting om linjär optimering.  Jag vet helt enkelt inte riktigt hur jag ska ställa upp ekvationen, vart jag börjar. 

Ska jag börja med inköpskostnaderna? Ställa upp mot ytan eller mot vinst? 

Som du märker är jag lite ute på vift här, brukar förstå det mesta men här känner jag mig lost! :) 

Väldigt tacksam för hjälpen. Tack!

Jag hjälper dig med den ena olikheten.

Inköpskostnaden K för x barnnvagnar av modell A och y barnvagnar av modell B är $K=2400x+4000y$ kronor, är du med på det?

Eftersom Kslle endast har 416000 kronor att handla för måste det gälla att $K<416000$, dvs $2400x+4000y<416000$, är du med på det?

Nu kan du rita linjen $2400x+4000y=416000$ i ditt koordinstsystem. Tillåtet område är under denna linje, är du med på det?

Nästa olikhet gäller hur många barnvagnar som får plats i affären (max 150 stycken). Formulera det som en olikhet och rota in i koordinatsystemet.

De sista två olikheterna är $x\geq0$ och $y\geq0$.

Dessa 4 olikheter bildar ett slutet område i koordinstsystemet som motsvarar alla tillåtna värden på x och y.

Det maximala värdet på vinstfunktionen V måste finnas någonstans inom detta område.

Tack! 

Ja, så långt är jag med och har skrivit upp! Nu vet jag inte om det är min dator som strular men i din text ser jag inte allt, såhär ser texten ut för mig:v Eftersom Kslle endast har 416000 kronor att handla för måste det gälla att K<416000K<416000, dvs 2400x+4000y<416000$$, är du med på det?</p> <p>Nu kan du rita linjen $$2400x+4000y=416000$$ i ditt koordinstsystem. Tillåtet område är <em>under</em> denna linje, är du med på det?</p> <p>Nästa olikhet gäller hur många barnvagnar som får plats i affären (max 150 stycken). Formulera det som en olikhet och rota in i koordinatsystemet.</p> <p>De sista två olikheterna är $$x\geq0ochochy\geq0$$.

Tror ändå jag är med någorlunda även om jag inte kan tyda det som jag tror du har skrivit ut som tecken :) Kommer sätta mig igen imorgon med detta och gräva vidare, hoppas kunna reda ut det efter lite sömn nu när man suttit med matte sedan 17:00. Återkommer imorgon om det är några frågor. 

Tack så hemskt mycket för hjälpen, detta är guld värt ska du veta!

sophiasophia skrev:

Tack! 

Ja, så långt är jag med och har skrivit upp! Nu vet jag inte om det är min dator som strular ...

Nej det är inget fel på din dator, det var jag som skrev lite slarvigt. Läs mitt svar igen, jag har städat det nu.

Visa gärna dina framsteg med olikheterna och koordinatsystemet. Läs här om hur du lägger in en bild.

Du kan även läsa här om linjär optimering. Scrolla ner till avsnittet "Linjär optimering i två dimensioner".

Hej! Tack för hjälpen so far, är med på vad jag behöver göra nu när jag fått fram koordinaterna, men är inte helt med på hur jag får det. Har än så länge :

k=2400x+4000y och andra olikheter x+y< 150 

men hur får jag ner detta till koordinater? PQ formeln funkar ju inte här och om jag inte är helt efter så borde väl inte 4000y vara m-värdet? 

sophiasophia skrev:

Hej! Tack för hjälpen so far, är med på vad jag behöver göra nu när jag fått fram koordinaterna, men är inte helt med på hur jag får det. Har än så länge :

k=2400x+4000y och andra olikheter x+y< 150 

men hur får jag ner detta till koordinater? PQ formeln funkar ju inte här och om jag inte är helt efter så borde väl inte 4000y vara m-värdet? 

Det är linjära samband mellan x och y så du kan antingen skriva om ekvationerna

• 2400x + 4000y = 416000 och
• x + y = 150

på formen $y=kx+m$

eller

så kan du göra på det enklare och snabbare sättet, nämligen att

1. sätta in x = 0 i de båda ekvationerna och se vilka y-värden det motsvarar, dvs var linjerna skär y-axeln.
2. sätta in y = 0 i de båda ekvationerna och se vilka x-värden det motsvarar, dvs var linjerna skär x-axeln.
3. Dra sedan två linjer genom respektive skärningspunkter.

-----

De två andra sambanden x = 0 och y = 0 antar jag att du vet hur du ritar?

Ta en bild av ďitt område och ladda upp här.

Lös ut y ur dina båda båda ekvationer och rita.

Hemskt ledsen att jag är så trög just nu, brukar ha lätt för matte men detta är främmande för mig och har som sagt inte fått någon genomgång i linjär optimering...

Om jag ska göra på det lätta sättet och säga att x är 0 så är ju

2400x+4000y=416000 — 4000y=104, y=104  och sen y=150. Har jag rätt so far? Isåfall börjar jag förstå på riktigt :)

sophiasophia skrev:

Hemskt ledsen att jag är så trög just nu, brukar ha lätt för matte men detta är främmande för mig och har som sagt inte fått någon genomgång i linjär optimering...

Om jag ska göra på det lätta sättet och säga att x är 0 så är ju

2400x+4000y=416000 — 4000y=104, y=104  och sen y=150. Har jag rätt so far? Isåfall börjar jag förstå på riktigt :)

Ja, linjen 2400x + 4000y = 416000 skär alltså y-axeln där y = 104, dvs i punkten (0: 104). Markera den punkten i ditt koordinatsystem.

Var skär denna linje x-axeln, dvs vad har x för värde då y = 0?

När du hittat och markerat även den punkten så drar du en linje genom dessa två punkter. Denna linje motsvarar 2400x + 4000y = 416000.

------

Gör sedan på samma sätt med linjen x + y = 150.

Visa dina linjer 

Ser detta rätt ut? 

sophiasophia skrev:

Ser detta rätt ut? 

Ja, om det står 173 till höger på x-axeln. Bra!

Markera nu det område som innesluts av dessa två linjer och linjerna x = 0 och y = 0.

Yes, 173 står det!

Gjorde så att jag lät det inneslutande vara blankt men kladdade över det område vi inte ska ut i!😊 blev lite fult men det är nog tydligt vad jag menar. Är detta korrekt? 

sophiasophia skrev:

Yes, 173 står det!

Gjorde så att jag lät det inneslutande vara blankt men kladdade över det område vi inte ska ut i!😊 blev lite fult men det är nog tydligt vad jag menar. Är detta korrekt? 

Ja, det är rätt. Om du även markerar bort området under x-axeln (pga villkoret $y\geq0$) och området till vänster om y-axeln (pga villkoret $x\geq0$), se nedan.

Nästa steg är att ta fram ett uttryck för vinsten V. Den beror av både x och y.

Undersök sedan denna vinstfunktions värde i områdets hörnpunkter (rödmarkerade).

Du har väl läst detta avsnitt om linjär optimering?

Super!

Yes, har läst avsnittet, är inte helt med på att dem delar y och x så som dem gör i avsnittet. 

Vad blir nästa steg nu för att ta fram punkt C? I exemplet över är den ena punkten (0,0) och den andra (0,150). Mina punkter är A (0,104) och B (150,0), i exemplet har dem använt bråk vilket jag inte har, antar att deras x/3 och 2x/5 är samma som mitt 2400x4000y?

I exemplet du citerar är deras tredje punkt där linjen y=x/3 skär linjen y=6-2x/5. De löser den ekvation som blir när man sätter de båda uttrycken lika.

Din tredje punkt är där linjen 2400x + 4000y = 416000 skär linjen x+y=150. Du kan lösa ut y ur båda ekvationerna och göra som i exemplet, emn jag skulle inte gjort exakt så. Enklaste sättet att lösa det ekvationssystemet (åtminstone om man frågar mig) är att skriva om den andra ekvationen till y=150-x och sätta in detta uttryck i stället för y i den första ekvationen. Vilket värde på x får du då?

Okej, ditt låter enklare så kör på det, om jag skriver om den andra ekvationen till y=150-x är det då det x-värde jag fick fram genom att säga y=0 förut då? 

Alltså, y=150-104 —- y=46? Är jag på rätt spår?

sophiasophia skrev:

Okej, ditt låter enklare så kör på det, om jag skriver om den andra ekvationen till y=150-x är det då det x-värde jag fick fram genom att säga y=0 förut då? 

Alltså, y=150-104 —- y=46? Är jag på rätt spår?

Nej, det här är en helt annat punkt - om jag läser av det i ditt diagram ser det ut att vara ungefär x=130, y=25* men vi kan räkna fram ett bättre värde. Du skall alltså lösa ekvationen 2400x + 4000y = 416000 fast du vet att y=150-x, så det blir 2400x + 4000(150-x) = 416000. Vilket är lösningen till den ekvationen?

*Vi kan lätt se att detta inte kan stämma, eftersom mina avlästa värden ger summan 155, inte 150.

Är med på att detta är en annan punkt men vilket annat x det kan vara är jag lite frågande kring, heh. 

2400x+4000(150-x)=416 000

600 000-4000x=416 000

-416 000+600 000-4000x=0

184 000-4000x=0 

x=46 får jag om jag har gjort rätt? y=150-46 innebär ju att y är 104, samma som jag fick fram tidigare...

Är lite mosig i huvudet nu efter 11 timmar på jobbet + denna uppgift. 

Har jag gjort någonting fel tidigare eller gör jag det nu? Vad är det som inte kan stämma, hela problemet/uppgiften, eller har jag räknat fel på något vis? 

sophiasophia skrev:

Är med på att detta är en annan punkt men vilket annat x det kan vara är jag lite frågande kring, heh. 

2400x+4000(150-x)=416 000

600 000-4000x=416 000

-416 000+600 000-4000x=0

184 000-4000x=0 

x=46 får jag om jag har gjort rätt? y=150-46 innebär ju att y är 104, samma som jag fick fram tidigare...

Är lite mosig i huvudet nu efter 11 timmar på jobbet + denna uppgift. 

Har jag gjort någonting fel tidigare eller gör jag det nu? Vad är det som inte kan stämma, hela problemet/uppgiften, eller har jag räknat fel på något vis? 

Nej, du gör inte rätt. Du gör nånting fel i första steget, åtminstone. Du har ekvationen

2400x+4000(150-x)=416 000. Börja med att dividera båda sidor med 1000, så får du inte så många nollor. Då blir det

2,4x+4(150-x)=416. Nästa steg är att multiplicera in 4 i parentesen. Hur ser ekvationen ut sedan? Vad fortsätter du med?

EDIT: Hade tappat bort en sexa

Menar du att jag gör fel i den ekvation vi pratar om nu eller har jag gjort fel sedan start? Är min graf och mina linjer fel? Hänger inte med :)

Nu delar jag med 1000 och fick fram 2,4x+600-4x=416, inte 41? Isåfall får jag ju fram

2,4x+4(150-x)=416

2,4+600-4X=416

-1,6X+600=416

-416-1,6X+600=0

-1,6X=-184

X=115??

Nej nu måste jag gjort något fel. 

Du har rätt, jag hade tappat bort en sexa.

Du har gjort nästan allt rätt, och framför allt - du har vett att inse att något var fel! Din femte rad borde bli

-1,6X+184=0. Fortsätt därifrån!

Okej, men då måste jag ju göra fel när jag flyttar över från HL till VL? 

Om jag istället flyttar över -1,6x och får 184=1,6x blir ju svaret fortfarande 115.... Ska jag inte flytta över alls, har jag missat någon räkneregel? 

(Måste bara skriva TACK, denna hjälp är väldigt uppskattad, speciellt med tanke på dag och tid! Du, ni, är guld värda!)

Nu har du redigerat ditt inlägg så att det inte är likadant som när jag kommenterade det - då var femte raden -1,6x=184 och du fick att x=-115.Det var detta som jag kommenterade att det varså klokt av dig att inse. Det står i Pluggakutens regler att man inte får "redigera ihjäl" ett besvarat inlägg, så som du gjorde nu. /moderator

Nu har du fått fram rätt (del)svar, att x = 115. Vad är y?

Sista steget är att ta reda på hur stor vinsten blir i vart och ett av det tre hörnen, så att man skall kunna avgöra hur många barnvagnar Kalle bör köpa av varje sort.

Ajdå, dumt av mig, tänkte inte på det. Ledsen för det, lär mig på vägen och kommer ej hända igen. 

Det känns som att min hjärna vill spöka lite med mig nu, men är det så enkelt att y=150-115? Alltså y=35?

sophiasophia skrev:

Ajdå, dumt av mig, tänkte inte på det. Ledsen för det, lär mig på vägen och kommer ej hända igen. 

Det känns som att min hjärna vill spöka lite med mig nu, men är det så enkelt att y=150-115? Alltså y=35?

Så enkelt är det, men du är int eklar än. Du skall beräkna vinsten i de tre punkterna.

Jag tror jag har det! Skulle se om du hann svara och det hade du, men, borde bli: 

V=1000x+1200y

1000*115 = 115 000

1200*35 = 42 000

Den maximala vinsten är 157 000kr

Är det rätt? :D Kan jag sova lugnt nu? 

Du har tre punkter som du behöver beräkna vinsten för och jämföra värdena:

104 barnvagnar av den ena sorten, 35 av den ena och 115 av den andra samt 150 av den andra. Vilken av dessa varianter ger den största vinsten? (Det är möjligt att alla siffror finns i tråden, jag har inte letat så noga.)

sophiasophia skrev:

Jag tror jag har det! Skulle se om du hann svara och det hade du, men, borde bli: 

V=1000x+1200y

1000*115 = 115 000

1200*35 = 42 000

Den maximala vinsten är 157 000kr

Är det rätt? :D Kan jag sova lugnt nu? 

Svaret är rätt, men lösningen är inte komplett.

Jag tycker att du, efter att ha ritat upp området, klart och tydligt anger alla fyra hörnpunkternas koordinater och vilket värde vinstfunktionen har i respektive hörn. Dvs att du ska fylla i följande sammanställning:

• Hörn 1: Koordinater (0; 0). V = 1000*0 + 1200*0 = ...
• Hörn 2: Koordinater (150; 0). V = 1000*150 + 1200*0 = ...
• Hörn 3: Koordinater (115; 35). V = 1000*115 + 1200*35 = ...
• Hörn 4: Koordinater (0; 104). V = 1000*0 + 1200*104 = ...

Om du väljer att utesluta origo i din sammanställning så måste du motivera varför.

Jag förstår! 

Den maximala vinsten är ju den vi får i hörn 3 (eller C som jag tidigare kallat den), men de följande fyra är då:

Hörn 1: (0;0) V= 1000*0+1200*0=0

Hörn 2: (150;0) V=1000*150+1200*0 = 150 000

Hörn 3: (115;35) V=1000*115+1200*35 = 157 000

Hörn 4: (0;104) V=1000*0+1200*104 = 124 800 

Och här ser vi då tydligt att hörn nr 3 ger högsta vinsten. 

sophiasophia skrev:

Jag förstår! 

Den maximala vinsten är ju den vi får i hörn 3 (eller C som jag tidigare kallat den), men de följande fyra är då:

Hörn 1: (0;0) V= 1000*0+1200*0=0

Hörn 2: (150;0) V=1000*150+1200*0 = 150 000

Hörn 3: (115;35) V=1000*115+1200*35 = 157 000

Hörn 4: (0;104) V=1000*0+1200*104 = 124 800 

Och här ser vi då tydligt att hörn nr 3 ger högsta vinsten. 

Ja det stämmer. Bra!

Ett annat sätt att hitta vilket hörn som ger optimal vinst är att behandla även vinstfunktionen V som en rät linje med en viss lutning, men med en "okänd" position.

Eftersom i detta fallet $V=1000x+1200y$ så kan vi skriva om det sambandet som $y=\frac{V}{1200}-\frac{1000}{1200}x=\frac{V}{1200}-\frac{5}{6}x$.

Vinstfunktionens beroende av x och y kan alltså reptesenteras av en rät linje med lutningen $-\frac{5}{6}$.

Lägg nu en linjal med den lutningen över ditt område. Du kan läsa av x där linjalen skär x-axeln och y där linjalen skär y-axeln.

Eftersom vinsten V ökar med ökande x och y så vill vi att x och y ska vara så stora som möjligt. Det motsvaras av att du parallellförflyttar linjalen uppåt/åt höger.

Fortsätt så tills linjalen precis lämnar det tillåtna området. Detta sker i ett hörn, vilket är just det hörnet där V antar sitt största värde.