Linjär optimering oljeraffinaderi

max

För trött i huvudet för att komma på olikheter och målfunktion om en sådan finns när det handlar om kostnader.

Mvh/H

Målet är att minimera inköpskostnaden för de råvaror som behövs
för att man ska kunna leverera de avtalade kvantiteterna.

Vad betyder siffrorna i tabellen?

Hej,

Hur mycket som behövs per fat råolja av varje ? Men vet inte vad måttet e.

Kan inte ställa upp detta heller, så behöver hjälp med denna. Fröstår att det handlar om att minimera kostnaderna.

Mvh/H

Enheten är fat, både för råvaror och produkter.

Målfunktionen är kostnaden för inköp av råvaror.  
Två råvaruslag.

Bestäm villkoren på de inköpskvantiteter som gör att leveranskraven kan uppfyllas.
Tre produktslag.

Välj de kvantiteter som minimerar kostnaden.
   

Hm, kan inte riktigt just nu då jag vill/behöver få/ha det serverat men förstår att du vill att jag tänker efter.

Mvh/H

Börja med att formulera målfunktionen
Den innehåller två variabler. 
Vad kostar det att köpa in .  x.  fat Tungolja och   y.  fat Lättolja?

Du behöver inte bry dig om att det blir bensin också, för det blir lika många fat bensin av ett fat lätt råolja som av ett fat tung råolja. De har bara satt dit bensinen för att det skall se svårare ut än det egentligen är.

Ok, såg ett annat svar och är då, se nedan. Men hur får ut hörnkoordinaterna,hur sätter man olikheterna mpt varandra för att hita min o max?

Kalla antalet inköpta fat lätt råolja för x. Dessa kostar 35x dollar. Kalla antalet inköpta fat tung råolja för y. Dessa kostar 30y dollar. Totala inköpskostnaderna är alltså K = 35x + 30y dollar. Det är denna funktion du ska minimera.

Av varje fat lätt råolja får man ut 0,3 fat bensin 0,2 fat eldningsolja 0,3 fat flygbränsle Av x fat lätt råolja får man alltså ut 0,3x fat bensin 0,2x fat eldningsolja 0,3x fat flygbränsle

Av varje fat tung råolja får man ut 0,3 fat bensin 0,2 fat eldningsolja 0,2 fat flygbränsle Av y fat tung råolja får man alltså ut 0,3y fat bensin 0,2y fat eldningsolja 0,2y fat flygbränsle

Du vill ha åtminstone 900000 fat bensin, åttmindmstone 800000 fat eldningsolja och åtminstone 500000 fat flygbränsle, vilket innebär följande bivillkor:

0,3x+0,3y≥900000

0,2x+0,2y≥800000

0,3x+0,2y≥500000

Dessutom kan du inte köpa färre än 0 fat lätt respektive tung råolja så att du har även bivillkoren:

x≥0

y≥0

får man ut

Skriv om olikheterna

0,3x+0,3y≥900000

0,2x+0,2y≥800000

0,3x+0,2y≥500000

på formen y = kx+m och rita in de tre linjerna i samma koordinatsystem. Lägg upp din bild här.

Jag tycker det är krångligare med olikheter än olikheter, så jag skulle använda mig av likneten

0,3x+0,3y = 900000 istället och tänka efter efteråt om jag skall vara över eller under linjen. Just den här linjen blir y = 3 000 000 -x. Det ser ut om om jag behöver ha olika skala på y-axeln och x-axeln.

mot varandra

hitta

Just det ja man sätter = istället, det har jag sett o lärt mig.

Jag vil dock göra det algebraiskt och inte kika grafen för förståelse.

Hur sätter jag dem mot varandra, om jag då tar = för att få ut koordinaterna?

Mvh/H

vill

Man sätter y=....... så får man ut y-värdet och sedan sätter man x=......så får man ut x-värdet och således hörnkoordinaterna?

Eller behöver man ta linjerna som ska sättas lika med varandra?

1. Skriv om de tre ekvationerna till formen y = kx+m
2. Rita de tre linjerna i samma koordinatsystem
3. Lägg upp bilden här

Vilket steg behöver du hjälp med?

Hej S,

Ok, försöker med det o återkommer.

Mvh/H

Ok, jag vet inte hur man gör med räta linjen som då e y=kx+m

De olika linjerna/olikheterna/likheterna blir y=3 000 000-x, 4 000 000-x och 2 500 000 -1,5x.

Vad är detta egentligen? E talen k och så får man -x, men m då?

Behöver hjälp..:)

Mvh/H

k = -1, -1 respektive -1,5, m = 3 miljoner, 4 miljoner respektive 2,5 miljoner. Du skulle kunna rita med m = 3, 4 respektive 2,5 istället. Lägg upp din bild här.

                     Bensin       Eldningsolja       Flygbränsle

Lätt råolja     0,3                0,2                         0,3

Tungråolja   0,3                0.4                         0,2

står det i texten.

Så här står det i #10

0,3x+0,3y≥900000

0,2x+0,2y≥800000                Här stämmer det inte

0,3x+0,2y≥500000

Hej,

Tack för hjälp/input. Ok, så k=-1,-1, o -1,5, m= 3, 4 respektive 2,5 miljoner som jag kan skriva som 2,5, 3 o 4 istället. Bara i funktionen så skrevs k sist o m först,brukar vara tvärtom. Nu såg ja att det ska vara tusen o inte miljoner,tog en 0:a för mycket.

Just det såg att det ska vara 0,2x+0,4y (inte 0,2y)= 800000 så blir (väl?) y=200 000-0,5x

Så k=-0,5 och m= 200 000

Så när man nu fått ut y i likheterna/olikheterna så ska man få ut x för att få kordinaterna?

Mvh/H

Hej igen,

Skulle behöva lösa denna, då den var annorlunda än dem andra som handlade om maxvinst, o hä e det minikostnad. Så för att få ut hörnkoordinaterna här algebraiskt kan jag då ta så jag får y ensamt kvar i VL och i HL så blir det tal plus x?

Mvh/H

Här är olikheterna av typen

ax + by ≥ c , där a, b, och c är > 0

som kan skrivas om till.  y ≥ c/b – (a/b)·x

Begänsningslinjen är då. y = c/b – (a/b)·x

och du ska hålla dig på eller ovanför denna linje.

Rita, så ser du hur det blir.

Hej alla,

Jag e trött så din förklaring Arktos var just nu lite för abstrakt för mig.

Men oavsett om jag ritar upp bilden, som ni/du vill S så är då y=3 mil- (1)x,

y=4 milj-(1)x och y= 2,5 milj-1,5x

Det är kx som är lutningen, men jag förstår inte riktigt hur man kan exakt se vart den skär x-axeln . Med - x så är det ju 1/1, dvs ett steg i y-led,respektive ett steg i x-led och med -1,5 x är det 3/2 dvs tre steg i y-led och två steg i x-led. Men förstår och ser fortfarande inte hur man ritar upp det algebraiskt o ser det. Kan man också ta det på grafräknaren, hur gör man då?

Skriver man y=....och plotar det...på grafräknaren?

Kan du eller annan lägga in bild så jag ser hur man ritar upp linjerna och lutningen som skär x-axeln.

Mvh/H

Mvh/H

Låt  x  och  y.  ange antalet 100000 fat av resp råvara.

Då blir olikheterna

0,3x + 0,3y ≥ 9

0,2x + 0,4y ≥ 8               

0,3x + 0,2y ≥ 5

Bestäm begränsningslinjerna och rita dem i ett koordinatsystem.
Markera gränserna för det tillåtna området.

Hej Arktos,

Men gjorde jag inte det , e detta inte m o lutningen som man kan rita in ?

 y=3 mil- (1)x,

y=4 milj-(1)x och y= 2,5 milj-1,5x

Vet/förstår inte fortfarande hur man ritar in dem och ser vart dem skär x-axeln,

Mvh/H

Henrik 2 skrev:

[...]

Vet/förstår inte fortfarande hur man ritar in dem och ser vart dem skär x-axeln,

Det behöver du kunna. Har du repeterat avsnitten om röta linjens ekvation som vi tipsade om tidigare?

Allmänt gäller att en linje y = kx+m

• skär y-axeln där x = 0, dvs där y = k*0+m, dvs vid y = m
• skär x-axeln där y = 0, dvs dör 0 = kx+m, dvs där x = -m/k

Läs även tipset i detta svar.

Hej Y,

Vi har samma princip på lösning i två trådar, se mitt andra inlägg.

Jag förstår, mer eller mindre räta linjens ekvation, men svårt att tillämpa vart den skär x-axeln , y-axeln e jag med på m. Sedan tar man m/kx för att få ut x,ok.

Men hur man får ut koordinaterna till målfunktionen. Jag e så dålig på att rita o vet inte vart jag ska göra det.

Mvh/H

Henrik 2 skrev:

[...]

Men hur man får ut koordinaterna till målfunktionen. Jag e så dålig på att rita o vet inte vart jag ska göra det.

Se svar i den andra tråden.

Jag e så dålig på att rita o vet inte vart jag ska göra det.

Då behöver du träna på det.

Sant, ska försöka o behöver det för att lära mig och bli säkrare.

Mvh/H

Från Arktos inlägg #25:

0,3x + 0,3y ≥ 9   svart

0,2x + 0,4y ≥ 8   röd                                   

0,3x + 0,2y ≥ 5   blå

Jag kopierade de tre olikheterna en och en, klistrade in dem i Dessmos och bytte "," mot "." så fick jag den här bilden: Där syns i alla fall vilka linjer som skär varandra på "användbara"ställen så att du inte behäver räkna ut en massa punkter i onödan.

Ok, tack, men trött,vad e lutningen förutom m som e y som man ser?

Och vad e skärning med dem andra olika koordinaterna?

Mvh/H

Om du tittar på bilden ser du att den svarta linjen alltid ligger ovanför de andra, så den behöver du inte bry dig om. 

Du behöver lösa lämpliga ekvationer för att få fram koordinaterna för skärningspunkterna.

Tillägg: 5 apr 2024 07:08

Hoppsan, det var inte det vita området det handlar om...

Jag tycker den svarta ligger ovanför den blå i första kvadranten.
Den blå begränsar därför inte inte det möjliga området, så den kan vi bortse från.

Den svarta och den röda skär varann i första kvadranten
Först är den svarta begränsande, sedan den röda.
I skärningspunkten har du en hörnpunkt.

Sedan finns det två till.
Vi ska ju hålla oss i första kvadranten,
så koordinataxlarna begränsar också det tillåtna området.
Det är inte markerat i figuren, men vi vet ju att vi 
inte får vara till vänster om y-axeln eller under x-axeln.

Hej,

Ok, så första kvadranten. Dem skär varandra den röda och svarta men det gör ju även den blåa och röda i den första kvadranten, men alltid svårt att se exakt var,eller?

Så är dem andra två 0,0 och den andra e det från den svarta, röda eller blåa linjen?

Mvh/H

Henrik 2 skrev:

[...], men alltid svårt att se exakt var,eller?

Du ska bara använda skissen till att se vilka skärningspunkter som är intressanta, inte för att hitta själva skärningspunkterna.

Säg att du har 5 linjer L1, L2, L3, L4 och L5.

Baserat på din skiss ser du att följande skärningspunkter är intressanta (nu hittar jag bara på):

• Där L1 skär L3
• Där L1 skär L5
• Där L2 skär L4
• Där L3 skär L5

För att hitta koordinaterna för respektive skärningspunkt gör du nu algebraiska uträkningar enligt följande:

• L1 skär L3 där de har en gemensam punkt. Sätt upp ett ekvationssystem med de ekvationer som motsvarar L1 och L3 och lös det ekvationssystemet.
• L1 skär L5 där de har en gemensam punkt. Sätt upp ett ekvationssystem med de ekvationer som motsvarar L1 och L5 och lös det ekvationssystemet.
• L2 skär L4 där de har en gemensam punkt. Sätt upp ett ekvationssystem med de ekvationer som motsvarar L2 och L4 och lös det ekvationssystemet.
• L3 skär L5 där de har en gemensam punkt. Sätt upp ett ekvationssystem med de ekvationer som motsvarar L3 och L5 och lös det ekvationssystemet.

Detta kommer att ge dig de fyra intressanta hörnpunkterna.

Det kan vara fler eller färre än fyra intressanta hörnpunkter. Din skiss ger dig ledning.

Det är därför det är så viktigt att kunna göra enkla snabba skisser av räta linjer.

Hej Y,

Får försöka skissa lite mer.

Mvh/H

Henrik 2 skrev:

Ok, så första kvadranten. Dem skär varandra den röda och svarta men det gör ju även den blåa och röda i den första kvadranten, men alltid svårt att se exakt var,eller?

Den blåa linjen begränsar inte det möjliga området (#35).
I den första kvadranten ligger den hela tiden under den svarta linjen
Om det svarta vilkoret uppfylls så är därmed även det blåa villkoret uppfyllt.
Här kan vi därför bortse från det blåa vilkoret.

Därmed behöver vi inte bekymra oss om vilka andra linjer som skärs av den blå.

Den blå och den röda linjen skär varann förstås  under den svarta linjen,
eftersom den blåa linjen ligger under den svarta.
Det är först när den röda skär den svarta so vi får en ny hörnpunkt.
Från och med då ligger den röda över den svarta.

Fram tills den röda skär x-axeln. Det blir nästa hörnpunkt.
Från och med då ligger x-axeln över den röda.

Hej,

Tack. Vilket område e det hä som gäller,det skuggade som man ska kika på och med det menas att dt är det område som örappas av alla linjer som e relevant var det så?

Blå är inte relevant för att?

Mvh/H

I första kvadranten ligger här den svarta linjen alltid ovanför den blå. (#39)
Är det svarta villkoret uppfyllt, är därmed också det blåa villkoret uppfyllt.
Om det svarta villkoret är uppfyllt, kan vi därför helt bortse från det blåa villkoret.

I ett typiskt MINIMERINGsproblem (som detta)
är det tillåtna området den del av första kvadranten
som  ligger på eller OVANFÖR alla linjerna.

I ett typiskt MAXIMERINGsproblem (där olikhetstecknen går åt andra hållet)
är det tillåtna området den del av första kvadranten
som  ligger på eller UNDER alla linjerna.

Tillägg: 7 apr 2024 13:49

Se #43 nedan för beskrivning av vad jag menar med ett typiskt problem.
Det finns gott om linjära potimeringsproblem som är mer allmänna än så.
Tack  Yngve, för påpekandet!

Arktos skrev:

[...]

I ett typiskt MINIMERINGsproblem (som detta)
är det tillåtna området den del av första kvadranten
som  ligger på eller OVANFÖR alla linjerna.

I ett typiskt MAXIMERINGsproblem (där olikhetstecknen går åt andra hållet)
är det tillåtna området den del av första kvadranten
som  ligger på eller UNDER alla linjerna.

Det här håller jag inte med om.

Det är enbart bivillkoren (dvs olikheterna) som bestämmer var det tillåtna området befinner sig relativt randlinjerna.

Om det sedan är ett minimerings- eller maximeringsproblem beror enbart på hur uppgiften lyder och hur målfunktionen formulerats.

Exempel:

Tillåtet område $0\leq x\leq1$ samt $0\leq y\leq1$

Minimeringsproblem: Bestäm det minsta värdet av uttrycket $x+y$ I det tillåtna området.

Maximeringsproblem: Bestäm det största värdet av uttrycket $x+y$ I det tillåtna området.

Yngve, det är jag som har uttryckt mig otydligt.
Jag berättade inte vad jag menar med typiskt max/min-problem.
Det är ekonomiska problem av den  typ som Henrik2 hittills har träffat på

I sin enklaste form ser de ut så här:

Bestäm  x ≥ 0  och  y ≥ 0  så att  ax + by  maximeras (minimeras)
under bivillkoren
cx + dy  ≤ (≥) h
fx + gy  ≤ (≥)  k
  etc
där alla koefficienter är positiva konstanter 

Minimeringsproblemet här är ett blandningsproblem
där det gäller att bestämma den billigaste kombination av givna ingredienser
som uppfyller givna minimikrav i olika avseenden (leveransåtaganden)

Maximeringsproblemet är ofta ett produktvalsproblem 
där det gäller att bestämma
den mest lönsamma kombination av givna produkter  (ett produktionsprogram)
som uppfyller givna maximikrav i olika avseenden (resursåtgång)
Exempel: https://www.pluggakuten.se/trad/linjar-optimering-parmar-och-mappar/

OK, jag ser bara en risk att elever använder detta som en tumregel istället för att själva tänka efter vad de i uppgiften givna villkoren egentligen betyder och hur de begränsar det tillåtna området.

Dessutom kan det ju mycket väl förekomma villkor som ger både uppåt och neråt begränsande linjer i första kvadranten, oavsett vilken typ av ovanstående problem det är frågan om.