linjär och exponentiell funktion
Inom ett glesbygdsområde minskar invånarantalet till hälften på 20 år. Hur stor andel av invånarna finns kvar efter ytterligare 15 år om
a) minskningen är linjär
b) minskningen är exponentiell
Hade någon kunnat förklara riktigt tydligt, steg för steg. Har svårt att fatta
Hej och välkommen till Pluggakuten!
För att exemplifiera skillnaden kan vi säga att invånarantalet var 100 000 individer innan minskningen och att antalet individer efter 20 år har halverats, dvs minskat till 50 000.
En linjär minsking innebär att antalwt invånare minskar med samma antal varje år. Det innebär alltså att minskningen är 50 000/20 = 2 500 individer per år. En linjär minskning kan beskrivas med hjälp av ett linjärt samband. Antalet individer y kan då skrivas som y = kx+m, där k är minskningen per år, x är antalet år efter start och m är ursprungsantalet. Vi får alltså y = -2500x+100000.
En exponentiell minskning innebär att den procentuella minskningen är lika stor varje år. En exponentiell minskningen g kan beskrivas med ett exponentiellt samband. Antalet individer y kan då skrivas som y = C•ax, där a är den årliga förändringsfaktorn, x är antalet år efter start och C är ursprungsantalet. Vi får alltså att 50000 = 100000•a20. Vi kan nu bestämma förändringsfaktorn a genom att lösa denna ekvation.
Kommer du vidare då?
Tack!
Är det möjligt att även lösa uppgiften generellt? Alltså utan att lägga in några värden?
Jadå, läs Yngves inlägg och ersätt siffran 100 000 med en bokstav till exempel "i" (som i "invånare") och 50 000 med bokstaven delat på två ("i/2").
Det blir då i stället:
En linjär minsking innebär att antalwt invånare minskar med samma antal varje år. Det innebär alltså att minskningen är (i/2)/20 = i/40 individer per år. En linjär minskning kan beskrivas med hjälp av ett linjärt samband. Antalet individer y kan då skrivas som y = kx+m, där k är minskningen per år, x är antalet år efter start och m är ursprungsantalet. Vi får alltså y = -(i/40)*x+i.
En exponentiell minskning innebär att den procentuella minskningen är lika stor varje år. En exponentiell minskningen g kan beskrivas med ett exponentiellt samband. Antalet individer y kan då skrivas som y = C•ax, där a är den årliga förändringsfaktorn, x är antalet år efter start och C är ursprungsantalet. Vi får alltså att (i/2) = i•a20. Vi kan nu bestämma förändringsfaktorn a genom att lösa denna ekvation.
