linjär och exponentiell funktion
Inom ett glesbygdsområde minskar folkmängden till hälften på 20 år. Hur stor andel av invånarna finns kvar efter ytterligare 15 år om
a) minskningen är linjär
b) minskningen är exponentiell
Jag vet inte hur jag ska skriva en linjär funktion, min funktion är proportionell linjär: y= 0.025x där y är andelen invånare och x är år.
Den exponentiella funktionen vet jag inte heller hur jag ska skriva
(0.5x)20= (0.5x)35
Även om a-uppgiften kan lösas utan att använda funktioner, förmodar jag att du vill se hur man använder s k linjära funktioner i denna uppgift. I gymnasiala sammanhang är en linjär funktion en som kan skrivas y=k*x + m. I detta exemplet är x tiden räknad i år och y den aktuella folkmängden. Sätter du in x=0 får du folkmängden från början = m. Utnyttja sedan att folkmängden halveras på 20 år genom att skriva m/2 = k*20 +m. Det ger k = - m/40. Således y = -(m/40)*x + m = m(1 - x/40). Nu sätter du bara in tiden efter ytterligare 15 år dvs x = 20+15=35 i och får y = m(1- 35/40) =m/8, dvs att endast 1/8 av folkmängden återstår när 35 år har gått. (Notera att den funktion som du kommit fram till har folkmängden 0 från början, vilket gör frågan meningslös)
b) En exponentialfunktion kan skrivas y = C * akx . a kallas basen och den väljer faktiskt du själv. Föreslår här a=10 som är för vanligt folk. Sedan kan du använda samma strategi som ovan: först sätta x=0 och få ursprungliga folkmängden y = C*ak*0 = C* 1=C. Därefter in med x=20 så får du en ekvation som ger dig värdet på k. Avsluta sedan genom att sätta in x = 35 som ger dig folkmängden efter 35 år och den kvarstående andelen.
Det här var lite utförligt men jag hoppas det ger dig viss stabilitet.
