linjär kongruens

Hej

jag behöver hjälp med att lösa denna linjära kongruens

$19 x \equiv 30 (m o d 40)$

vi har gcd(19,40)=1 så det finns bara ett värde på x som uppfyller kongruensen.

Ska man sedan ställa upp en diofantisk ekvation och få

40=2*19+2

19=2*9+1

men vi ska ju inte få resten 1 i denna uppgift utan resten 30 så ska man då sätta 40*1*30+10 och i så fall x=10, vilket stämmer med svaret.

Idén är att man börjar med att lösa ekvationen

$19 x \equiv 1 \pmod {40}$

genom att lösa den diofantiska ekvationen.

$19x - 40y = 1$ för att sedan modifiera denna lösning till att bli en lösning till ( $\equiv 30$ )-situationen.

Med dina steg kommer man fram till att

$19 \cdot 19 - 40 \cdot 9 = 1$

dvs att en lösning är x = 19 och y = 9 är en lösning vilket återuttryckt i kongruensnotation säger att

$19 \cdot 19 \equiv 1 \pmod {40}$

När du väl är i detta steg kan du mycket riktigt multiplicera båda led med 30 för att återvända till $\equiv 30$

$19 \cdot (30 \cdot19) \equiv 30 \pmod {40}$

Jämförelse säger oss lösningen till denna ekvation alltså är

$x \equiv 30 \cdot 19 \equiv 570 \equiv 10 \pmod {40}$

(Jag är tyvärr inte riktigt med på vad du gör sista raden i ditt inlägg)

Svara