linjär differentialekvation av första ordning

Hej!

Ditt villkor $x^2>0$ är uppfyllt av alla reella tal $x \neq 0$. När $x = 0$ så säger differentialekvationen att $y(0)=0.$ Differentialekvationens lösningar är alltså alla funktioner $y$ som är sådana att

    Error converting from LaTeX to MathML

Albiki

 Hej tack för svar, det verkar ha blivit något knas med ditt inlägg, kan inte se matematiken du skrivit efter ".. alla funktioner y sådana att:".

Men det jag menade med villkoret att x^2 > 0 var att beloppet av x är ju beroende av tecknet hos x, men eftersom vi kvadrerar beloppet är ${\left|x\right|}^2> 0$ vilket innebär att jag kan använda den integrerande faktorn som $e^{G\left(x\right)}=x^2$

Men då borde väl min lösning vara korrekt med andra ord? Om y(x) = 0 för x = 2*pi*k (dvs då HL = 0 i DE) så löser det ju DE, VL=0=HL

Hej!

Om $y(2\pi n) = 0$ (vilket jag inte ser varför så skulle vara fallet) så säger ekvationen att det måste gälla att derivatan  $y'(2\pi n) = 0$, inget annat.

Eftersom $2\pi n \neq 0$ så vet du att

    $\displaystyle y(2\pi n) = \frac{c+\sin 2\pi n}{(2\pi n)^2} + \frac{\cos 2\pi n}{2\pi n} = \frac{c}{(2\pi n)^2} + \frac{1}{2\pi n}$

och detta är lika med noll endast om konstanten $c = -2\pi n$.

Alltså, om $c = -2\pi n$ så är $y(2\pi n) = 0$. Men gäller det även att derivatan $y'(2\pi n) = 0$ för detta val av $c$?

Albiki

Nej jag tror vi kanske missförstår varandra, jag menar alltså att

$$\begin{gathered} DE : xy\text{'} + 2y = \sin x \\ y\left(2\pi n\right) = 0 \Rightarrow VL i DE : x * 0 + 2*0 =0 \\ \sin \left(2\pi n\right) = 0 \Rightarrow HL i\hspace{0.17em}DE: \sin \left(2\mathrm{\pi n}\right) = 0 \\ \mathrm{Alltså} \mathrm{VL}=0\hspace{0.17em}= \mathrm{HL} \end{gathered}$$

Vi har ju bestämt y(x) precis som du nämner. Det jag menar är att om nu y(2*pi*n) är lika med noll så löser även denna singulära lösning differentialekvationen eftersom sin(2*pi) = 0, så VL = HL

Jämför denna uppgift som exempel : $$\begin{gathered} DE: y\text{'} = \sqrt{xy} \Rightarrow y\left(x\right) = (\frac{1}{3}{x}^{\frac{2}{3}}+ C{)}^2 \\ Men DE löses även om y(x) = 0 \forall x\in D_y \end{gathered}$$

tarkovsky123_2 skrev :

Nej jag tror vi kanske missförstår varandra, jag menar alltså att

$$\begin{gathered} DE : xy\text{'} + 2y = \sin x \\ y\left(2\pi n\right) = 0 \Rightarrow VL i DE : x * 0 + 2*0 =0 \\ \sin \left(2\pi n\right) = 0 \Rightarrow HL i\hspace{0.17em}DE: \sin \left(2\mathrm{\pi n}\right) = 0 \\ \mathrm{Alltså} \mathrm{VL}=0\hspace{0.17em}= \mathrm{HL} \end{gathered}$$

Vi har ju bestämt y(x) precis som du nämner. Det jag menar är att om nu y(2*pi*n) är lika med noll så löser även denna singulära lösning differentialekvationen eftersom sin(2*pi) = 0, så VL = HL

Jämför denna uppgift som exempel : $$\begin{gathered} DE: y\text{'} = \sqrt{xy} \Rightarrow y\left(x\right) = (\frac{1}{3}{x}^{\frac{2}{3}}+ C{)}^2 \\ Men DE löses även om y(x) = 0 \forall x\in D_y \end{gathered}$$

Hej!

Om jag förstår dig rätt så säger du att om $y$ är en godtycklig deriverbar funktion (definierad för alla reella tal) sådan att $y(2\pi n) = 0$ så gäller det att

    $(VL)(2\pi n) = (HL)(2\pi n).$

Men vad har du att säga om funktionens $y(x)$ värden för mellanliggande x-värden? Kan funktionen se ut hur som helst? 

Beräkningarna visar att för alla $x$ (utom 0) så ges funktionens värden $y(x)$ av det framräknade uttrycket. Detta gäller även för dina värden $2\pi n$ (utom n=0, vilket jag behandlade separat). 

Albiki

Tack för svar! Jag tänkte fel. Mvh