linjär differentialekvation av första ordning
Hej! Jag ska lösa en differentialekvation som ser ut som följande:
Jag löser den mha den integrerande faktorn som i detta fall blir
Vilket till slut leder fram till att
Men min fundering här är att dem i facit endast har angett alla lösningar till DE på formen ovan. Jag vill dock påstå att det finns fler (singulära) lösningar om vi säger att
Så därför borde även gälla att (alla) lösningar till DE ges av dels y(x) som sagt ovan men även om
Stämmer detta resonemang? Tacksam för svar! Mvh
Hej!
Ditt villkor är uppfyllt av alla reella tal . När så säger differentialekvationen att Differentialekvationens lösningar är alltså alla funktioner som är sådana att
Error converting from LaTeX to MathML
Albiki
Hej tack för svar, det verkar ha blivit något knas med ditt inlägg, kan inte se matematiken du skrivit efter ".. alla funktioner y sådana att:".
Men det jag menade med villkoret att x^2 > 0 var att beloppet av x är ju beroende av tecknet hos x, men eftersom vi kvadrerar beloppet är vilket innebär att jag kan använda den integrerande faktorn som
Men då borde väl min lösning vara korrekt med andra ord? Om y(x) = 0 för x = 2*pi*k (dvs då HL = 0 i DE) så löser det ju DE, VL=0=HL
Hej!
Om (vilket jag inte ser varför så skulle vara fallet) så säger ekvationen att det måste gälla att derivatan , inget annat.
Eftersom så vet du att
och detta är lika med noll endast om konstanten .
Alltså, om så är . Men gäller det även att derivatan för detta val av ?
Albiki
Nej jag tror vi kanske missförstår varandra, jag menar alltså att
Vi har ju bestämt y(x) precis som du nämner. Det jag menar är att om nu y(2*pi*n) är lika med noll så löser även denna singulära lösning differentialekvationen eftersom sin(2*pi) = 0, så VL = HL
Jämför denna uppgift som exempel :
tarkovsky123_2 skrev :Nej jag tror vi kanske missförstår varandra, jag menar alltså att
Vi har ju bestämt y(x) precis som du nämner. Det jag menar är att om nu y(2*pi*n) är lika med noll så löser även denna singulära lösning differentialekvationen eftersom sin(2*pi) = 0, så VL = HL
Jämför denna uppgift som exempel :
Hej!
Om jag förstår dig rätt så säger du att om är en godtycklig deriverbar funktion (definierad för alla reella tal) sådan att så gäller det att
Men vad har du att säga om funktionens värden för mellanliggande x-värden? Kan funktionen se ut hur som helst?
Beräkningarna visar att för alla (utom 0) så ges funktionens värden av det framräknade uttrycket. Detta gäller även för dina värden (utom n=0, vilket jag behandlade separat).
Albiki
Tack för svar! Jag tänkte fel. Mvh