Linjär avbildningar i linjär algebra

Hej!

Sitter dagen innan tentan och pluggar på föregående tentor. Men vissa uppgifter kräver att man ska avgöra om en avbildning är linjär eller ej. Som exempel på en sådan uppgift är följande:

$L å t f : R^{4} - > R^{4} v a r a a v b i l d n i n g e n f (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}), d ä r (y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}) d e f i n e r a s g e n o m [\begin{matrix} y_{1} & y_{2} \\ y_{3} & y_{4} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{matrix}] . A v g ö r o m f ä r e n l i n j ä r a v b i l d n i n g o c h b e s t ä m i s å f a l l d e s s a v b i d n i n g s m a t r i s .$

Jag vet inte hur jag ska se om den är linjär eller inte. Men har iallafall tagit fram avbildningsmatrisen för funktionen men hur jag sedan ska göra för att se om den är linjär eller inte kan jag inte avgöra.

All hjälp uppskattas, tentan är imorgon så snabba svar uppskattas :)

Tack för hjälpen!

Om du har tagit fram en matris för avbildningen så är avbildningen linjär.

Eller om du vill:

Om alla y_i är linjärkombinationer av alla x_i så är avbildningen linjär.

Att multiplicera "X-matrisen" ovan med en konstant matris från vänster (eller höger) kan inte blanda dina x_i i några ickelinjära kombinationer, så det är lugnt.

Dr. G skrev:
Om du har tagit fram en matris för avbildningen så är avbildningen linjär.
Eller om du vill:
Om alla y_i är linjärkombinationer av alla x_i så är avbildningen linjär.
Att multiplicera "X-matrisen" ovan med en konstant matris från vänster (eller höger) kan inte blanda dina x_i i några ickelinjära kombinationer, så det är lugnt.

Om man tagit fram "avbildningsmatrisen" för en ickelinjär avbildning genom att helt enkelt avbilda basvektorerna så skulle man kunna tro att man hittat rätt matris utan att avbildningen är linjär.

Till TS: För att visa att avbildningen är linjär behöver du bara visa f(ax+by)=af(x)+bf(y) där x och y är vektorer och a,b skalärer

Ibland kan det vara en hjälp att se funktionen som en sammansättning av ett antal delfunktioner.

$f = h^{- 1} \circ g \circ h$

Där både g och h kan visas vara linjära.

I detta fall skulle vi kunna se det som

h: omvandling av element i R⁴ till matris i R^{2 x 2}.

g: multiplikation av element i R^{2 x 2} med konstant matris i R^{2 x 2}.

Här ser vi direkt att g är linjär (matrismultiplikation är ju en bilinjär operation).

Det är inte svårt att visa att h är linjär utifrån definitionen som gavs i ett tidigare inlägg.

Om h är linjär så är h^-1 linjär. Känd sats.

Svara

Visa senaste svar