Linjär avbildning, spegling av plan

Hej! Här är en uppgift jag inte lyckas lösa:

Utifrån ovanstående uppgift tänkte jag att problemet skulle lösas genom att utnyttja normalen till $π_{2}$ : (1, 0, 1) för att därmed bilda ekvationen:

x - x1 = t

y - y1 = 0

z - z1 = t

Ekvationen skall alltså svara mot alla punkter som är ortogonala mot planet $π_{2}$ men vid jämförelse med facit faller mitt resonemang redan här. Varför använder dem istället normalen till $π_{1}$ ? Skall man inte alltid använda normalen till objektet som skall agera som en spegel, och inte självaste objektet som skall speglas?

Rimligtvis borde båda normalerna spela roll. Men om du visar vad facit gör så kanske vi kan klara ut det hela.

Om $\vec{x}$ är en ortsvektor till en punkt i det plan pi3 som uppkommer genom speglingen av pi1 i pi2 så måste speglingen av $\vec{x}$ i pi2, som vi kan kalla s( $\vec{x}$ ), vara en ortsvektor till en punkt i planet pi1.

Dvs vi måste ha att (2, -1, 1)•s( $\vec{x}$ ) = 1. Där (2, -1, 1) = ${\vec{n}}_{1}$ är en normal till planet pi1.

Vi har vidare att ${\vec{n}}_{2}$ = (1, 0, 1) är en normal till planet pi2. Vi har därför mha av känd formel för spegling att

s( $\vec{x}$ ) = $\vec{x}$ - ( ${\vec{n}}_{2} ∙ \vec{x}$ ) ${\vec{n}}_{2}$ , där vi utnyttjat att ${|{\vec{n}}_{2}|}^{2}$ = 2.

Ekvationen för pi3 ges därför av

${\vec{n}}_{1} ∙ \vec{x} - ({\vec{n}}_{2} ∙ \vec{x}) ({\vec{n}}_{1} ∙ {\vec{n}}_{2}) = 1$ . Dvs x + y + 2z + 1 = 0.

Tillägg: 26 maj 2022 17:34

Notera att ekvationen för pi3 även kan skrivas

s( ${\vec{n}}_{1}$ ) $∙ \vec{x}$ = 1.

Fundera gärna på varför.

Tack för din tid! Jag har klurat på det du skrev. Jag är med på det du skriver fram tills du anger formeln för s(x). Är formeln för s(x) en standard formel? Jag har tyvärr inte sett den tidigare. Här är bokens förklaring till lösningen:

Ja, det är ganska standard. Om vi vill spegla en vektor $\vec{v}$ i ett plan genom origo med normalen $\vec{n}$ så ges formeln av

s( $\vec{v}$ ) = $\vec{v} - 2 \frac{\vec{n} ∙ \vec{v}}{{|\vec{n}|}^{2}} \vec{n}$ .

Det borde visas någonstans i er bok. Annars är det inte så svårt att härleda.

Sedan hoppar facit direkt till den formel som jag skrev i tillägget. Tycker kanske att man kunde visa utförligare hur man kommer fram till detta resultat, men tydligen tycker examinatorn att det är ”uppenbart”.

Tack jag förstår nu hur problemet löstes. Tack så mycket för din tid och hjälp!

Svara

Visa senaste svar