Linjär avbildning, rotation kring vektor i R3

Ett sätt att lösa denna är att införa en ortonormerad bas där en av vektorerna är parallell med [1 1 1]^T och bestämma avbildningens matris relativt denna bas. Sedan kan man använda basbytesmatriser för att räkna ut vad avbildningens matris blir relativt standardbasen.

hur gör jag det ? 

vi har inte riktigt gått igenom ON baser så har ingen aning  om hur man inför en ortonomerad bas men så som ja ser på nätet så ska ja införa basvektor f₁= 1/|v| *v , vilket i detta fall då v=(1,1,1) blir f₁ = 1/(roten ur 3) [1 1 1]^T

när jag sen ska välja f₂ så ska den vara ortogonal mot f₁ . spelar det då någon till roll vilken vektor jag väljer,

alltså funkar f₂= 1/(roten ur 3) [1 -1 0]^T ?

f₂ är ortogonal, men inte normerad. Multiplicera med 1/$\sqrt{2}$ i stället.

Sedan kan du få f₃ med kryssprodukten. f₃ = f₁ x f₂.

Notera att problemet även kan lösas med Rodrigues rotationsformel.

tack så mycket, alltså ska det vara f₁ = 1/$\sqrt{3}$ $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$, f₂ = 1/$\sqrt{2}$ $\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right]$ och då blir f₃=1/$\sqrt{6}$$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right]$

detta ger bassambandet av f=eT, där T= 1/$\sqrt{6} \left(\begin{array}{ccc}\sqrt{2}& \sqrt{3}& 1\\ \sqrt{2}& -\sqrt{3}& 1\\ \sqrt{2}& 0& -2\end{array}\right)$ 

sedan blir avbildningsmatrisen A_f = $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$

och till sist ska jag bara räkna ut vad T^-1 för att ställa upp avbildningsmatrisen i basen e , A_e=TA_fT^-1

ser detta någorlunda rätt ut eller är jag helt ute o cycklar?  

Ja, det ser ut att vara rätt tänkt. Sedan är det så vist anordnat att när man har ON-baser så gäller det att T^-1 = T^T. Så det är enkelt att invertera.

tack snälla för hjälpen!